Упр.347 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Образующая конуса, равная $$12\ \text{см}$$, наклонена к плоскости основания под углом $$\alpha$$. Найдите площадь основания конуса, если: а) $$\alpha=30^\circ$$; б) $$\alpha=45^\circ$$; в) $$\alpha=60^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$, где $$AB=12$$ см — образующая конуса, $$OB$$ — радиус основания, а угол между образующей и плоскостью основания равен $$\angle OBA=\alpha$$. Тогда

$$\cos \alpha=\frac{OB}{AB}, \qquad OB=12\cos \alpha.$$

Площадь основания конуса:

$$S=\pi R^2=\pi \cdot OB^2.$$

1. Если $$\alpha=30^\circ$$, то

   $$OB=12\cos 30^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$$

   $$S=\pi(6\sqrt{3})^2=108\pi\ \text{см}^2.$$

2. Если $$\alpha=45^\circ$$, то

   $$OB=12\cos 45^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}.$$

   $$S=\pi(6\sqrt{2})^2=72\pi\ \text{см}^2.$$

3. Если $$\alpha=60^\circ$$, то

   $$OB=12\cos 60^\circ=12\cdot \frac{1}{2}=6.$$

   $$S=\pi\cdot 6^2=36\pi\ \text{см}^2.$$

Ответ: а) $$108\pi\ \text{см}^2$$; б) $$72\pi\ \text{см}^2$$; в) $$36\pi\ \text{см}^2$$.