Упр.342 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Угол между диагоналями развёртки боковой поверхности цилиндра равен $$\varphi$$, диагональ равна $$d$$. Найдите площади боковой и полной поверхностей цилиндра.

Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2\pi R$$ и $$h$$. Его диагонали равны $$d$$, а угол между ними равен $$\varphi$$.

Пусть одна диагональ образует с основанием прямоугольника угол $$\frac{\varphi}{2}$$. Тогда для диагонали прямоугольника получаем:

$$\cos \frac{\varphi}{2}=\frac{2\pi R}{d}, \qquad \sin \frac{\varphi}{2}=\frac{h}{d}.$$

Отсюда

$$2\pi R=d\cos \frac{\varphi}{2}, \qquad h=d\sin \frac{\varphi}{2}.$$

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S_{\text{бок}}=2\pi Rh=(2\pi R)\cdot h =d\cos \frac{\varphi}{2}\cdot d\sin \frac{\varphi}{2} =\frac{d^2}{2}\sin \varphi.$$

Площадь одного основания:

$$S_{\text{осн}}=\pi R^2=\pi\left(\frac{d\cos \frac{\varphi}{2}}{2\pi}\right)^2 =\frac{d^2\cos^2 \frac{\varphi}{2}}{4\pi}.$$

Тогда полная поверхность цилиндра равна

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}} =\frac{d^2}{2}\sin \varphi+\frac{d^2\cos^2 \frac{\varphi}{2}}{2\pi}.$$

Если же за угол между диагоналями принять смежный угол, то вместо $$\varphi$$ в формуле для боковой поверхности получится $$180^\circ-\varphi$$, и тогда

$$S_{\text{бок}}=\frac{d^2}{2}\sin \varphi, \qquad S_{\text{полн}}=\frac{d^2}{2}\sin \varphi+\frac{d^2\sin^2 \frac{\varphi}{2}}{2\pi}.$$

Ответ: $$S_{\text{бок}}=\frac{d^2}{2}\sin \varphi$$; $$S_{\text{полн}}=\frac{d^2}{2}\sin \varphi+\frac{d^2\cos^2 \frac{\varphi}{2}}{2\pi}$$ или $$S_{\text{полн}}=\frac{d^2}{2}\sin \varphi+\frac{d^2\sin^2 \frac{\varphi}{2}}{2\pi}$$ — в зависимости от того, какой из углов пересечения диагоналей принят за $$\varphi$$.