Упр.341 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен $$\varphi$$, площадь основания цилиндра равна $$S$$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть $$R$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда площадь основания равна

$$\pi R^2=S,$$

откуда

$$R=\sqrt{\frac{S}{\pi}}.$$

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2R$$ и $$h$$. Его диагональ образует с образующей цилиндра угол $$\varphi$$, значит в прямоугольном треугольнике

$$\ctg\varphi=\frac{2R}{h}.$$

Следовательно,

$$h=2R\ctg\varphi=2\sqrt{\frac{S}{\pi}}\ctg\varphi.$$

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S_{\text{бок}}=2\pi Rh.$$

Подставим найденное значение $$h$$:

$$S_{\text{бок}}=2\pi R\cdot 2R\ctg\varphi =4\pi R^2\ctg\varphi =4S\ctg\varphi.$$

Ответ

$$4S\ctg\varphi$$