Упр.34 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки M, N и P — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: а) ND и AB; б) PK и ВС; в) MN и AB; г) MP и AC; д) KN и AC; e) MD и ВС.

Так как точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ — середины отрезков $$DA$$, $$DB$$ и $$DC$$ соответственно, то в соответствующих треугольниках получаем средние линии.

а) Прямые $$ND$$ и $$AB$$ пересекаются в точке $$B$$, так как $$B \in ND$$ и $$B \in AB$$.

б) В треугольнике $$DBC$$ отрезок $$PN$$ соединяет середины сторон $$DC$$ и $$DB$$, значит, $$PN \parallel BC$$. Точка $$K$$ лежит на отрезке $$BN$$, поэтому прямая $$PK$$ лежит в плоскости $$DBC$$ и пересекает прямую $$PN$$ в точке $$P$$. Так как $$PN \parallel BC$$, то $$PK$$ и $$BC$$ не параллельны и, следовательно, пересекаются.

в) В треугольнике $$ABD$$ отрезок $$MN$$ — средняя линия, значит, $$MN \parallel AB$$.

г) В треугольнике $$ACD$$ отрезок $$MP$$ — средняя линия, значит, $$MP \parallel AC$$.

д) Прямая $$KN$$ лежит в плоскости $$DBC$$ и пересекает плоскость $$ABC$$ в точке $$B$$, причём $$B \notin AC$$. Прямая $$AC$$ лежит в плоскости $$ABC$$. Следовательно, $$KN$$ и $$AC$$ не пересекаются и не параллельны, то есть они скрещиваются.

е) Прямая $$MD$$ лежит в плоскости $$ADC$$ и пересекает плоскость $$ABC$$ в точке $$A$$, причём $$A \notin BC$$. Прямая $$BC$$ лежит в плоскости $$ABC$$. Значит, $$MD$$ и $$BC$$ не пересекаются и не параллельны, то есть они скрещиваются.

Ответ

а) $$ND$$ и $$AB$$ пересекаются; б) $$PK$$ и $$BC$$ пересекаются; в) $$MN \parallel AB$$; г) $$MP \parallel AC$$; д) $$KN$$ и $$AC$$ скрещиваются; е) $$MD$$ и $$BC$$ скрещиваются.