Упр.335 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь каждого из полученных сечений равна $$S$$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
Обозначим радиус основания цилиндра через $$R$$, а высоту — через $$h$$. Пусть плоскости проходят через одну и ту же образующую цилиндра и взаимно перпендикулярны. Тогда их сечения — прямоугольники с общей высотой $$h$$, а их основания на верхнем основании цилиндра являются хордами $$AC$$ и $$BC$$.
Так как площади сечений равны, то равны и длины этих хорд:
$$S= h\cdot AC = h\cdot BC,$$
значит, $$AC=BC=l$$.
Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на окружности основания, причём угол $$\angle ACB$$ прямой, так как плоскости взаимно перпендикулярны. Следовательно, треугольник $$ACB$$ прямоугольный, и его гипотенуза
$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{l^2+l^2}=l\sqrt{2}.$$
Но $$AB$$ — диаметр основания цилиндра, поэтому
$$2R=l\sqrt{2}, \qquad R=\frac{l}{\sqrt{2}}.$$
Площадь осевого сечения цилиндра равна площади прямоугольника со сторонами $$2R$$ и $$h$$:
$$S_{\text{ос}}=2Rh=2h\cdot \frac{l}{\sqrt{2}}=lh\sqrt{2}.$$
Так как $$S=lh$$, получаем
$$S_{\text{ос}}=\sqrt{2}\,S.$$
Ответ: $$\sqrt{2}\,S$$.
