Упр.334 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в $$60^\circ$$. Образующая цилиндра равна $$10^3\ \text{см}$$, расстояние от оси до секущей плоскости равно $$2\ \text{см}$$. Найдите площадь сечения.
Треугольник $$AOC$$ равнобедренный, так как $$OA=OC$$ — радиусы основания цилиндра.
Плоскость сечения параллельна оси цилиндра, значит сечение — прямоугольник. Его высота равна образующей цилиндра:
$$h=10\sqrt{3}\text{ см}.$$
Найдём длину хорды $$AC$$, которую отсекает секущая плоскость в основании. Пусть $$H$$ — середина хорды $$AC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$AOC$$ отрезок $$OH$$ является одновременно медианой, высотой и биссектрисой, поэтому
$$\angle COH=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$
По условию расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно $$2$$ см, значит
$$OH=2\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$OHC$$:
$$\cos 30^\circ=\frac{OH}{OC}=\frac{2}{OC},$$
откуда
$$OC=\frac{2}{\cos 30^\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}/2}=\frac{4}{\sqrt{3}}.$$
Тогда
$$HC=OC\sin 30^\circ=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac12=\frac{2}{\sqrt{3}},$$
а значит
$$AC=2HC=\frac{4}{\sqrt{3}}.$$
Площадь сечения равна произведению высоты прямоугольника на его основание:
$$S=h\cdot AC=10\sqrt{3}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=40\text{ см}^2.$$
Ответ
$$40\text{ см}^2$$
