Упр.334 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 60°. Образующая цилиндра равна 10^3 см, расстояние от оси до секущей плоскости равно 2 см. Найдите площадь сечения.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр основания цилиндра, $$A$$ и $$C$$ — точки пересечения секущей плоскости с окружностью основания, а $$H$$ — основание перпендикуляра из $$O$$ на хорду $$AC$$. Тогда $$\triangle AOC$$ равнобедренный, так как $$OA=OC$$ как радиусы.

По условию дуга, отсекаемая плоскостью, равна $$60^\circ$$, значит центральный угол $$\angle AOC=60^\circ$$. В равнобедренном треугольнике $$AOC$$ высота $$OH$$ является также биссектрисой и медианой, поэтому

$$\angle COH=30^\circ.$$

Из прямоугольного треугольника $$OHC$$:

$$ \cos 30^\circ=\frac{OH}{OC}=\frac{2}{OC} $$

так как расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно $$OH=2$$ см. Тогда

$$ OC=\frac{2}{\cos 30^\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}/2}=\frac{4}{\sqrt{3}}. $$

Найдём хорду $$AC$$:

$$ \sin 30^\circ=\frac{HC}{OC} $$

откуда

$$ HC=OC\cdot \sin 30^\circ=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac12=\frac{2}{\sqrt{3}}. $$

Так как $$H$$ — середина хорды $$AC$$, то

$$ AC=2HC=\frac{4}{\sqrt{3}}. $$

Сечение цилиндра — прямоугольник, одна сторона которого равна образующей цилиндра $$10\sqrt{3}$$ см, а другая — хорде $$AC$$. Тогда его площадь: