Упр.333 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в $$120^\circ$$. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна $$h$$, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно $$d$$.
Рассмотрим окружность основания цилиндра с центром $$O$$. Плоскость сечения параллельна оси цилиндра, значит в основании она пересекает окружность по хорде $$AC$$, а расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно расстоянию от центра $$O$$ до хорды $$AC$$, то есть $$OH=d$$.
Так как дуга $$AC$$ равна $$120^\circ$$, то центральный угол $$\angle AOC=120^\circ$$. Треугольник $$AOC$$ равнобедренный, поскольку $$OA=OC$$. Тогда высота $$OH$$ к основанию $$AC$$ является одновременно медианой и биссектрисой, поэтому
$$\angle COH=60^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $$OHC$$ имеем
$$\cos 60^\circ=\frac{OH}{OC}=\frac{d}{OC}.$$
Отсюда
$$\frac{1}{2}=\frac{d}{OC}, \qquad OC=2d.$$
Теперь найдём половину хорды:
$$\sin 60^\circ=\frac{HC}{OC}=\frac{HC}{2d}.$$
Следовательно,
$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{HC}{2d}, \qquad HC=d\sqrt{3}.$$
Тогда
$$AC=2HC=2d\sqrt{3}.$$
Площадь сечения равна произведению хорды на высоту цилиндра:
$$S=AC\cdot h=2d\sqrt{3}\,h.$$
Ответ
$$S=2d h\sqrt{3}.$$
