Упр.333 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна h, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно d.

Подробный ответ

Пусть плоскость пересекает основание цилиндра по хорде $$AC$$, а центр основания — точка $$O$$. Тогда $$OA=OC$$, значит треугольник $$AOC$$ равнобедренный.

Так как плоскость параллельна оси цилиндра, то в сечении получается прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $$h$$, а другая — длине хорды $$AC$$.

По условию дуга, отсекаемая хордой $$AC$$, равна $$120^\circ$$, значит центральный угол $$\angle AOC=120^\circ$$. В равнобедренном треугольнике $$AOC$$ медиана $$OH$$ к основанию $$AC$$ является также высотой и биссектрисой, поэтому

$$\angle COH=60^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OHC$$. По условию расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно $$d$$, то есть $$OH=d$$.

Тогда

$$\cos 60^\circ=\frac{OH}{OC}=\frac{d}{OC}=\frac12,$$

откуда

$$OC=2d.$$

$$\sin 60^\circ=\frac{HC}{OC}=\frac{HC}{2d}=\frac{\sqrt3}{2},$$

следовательно,

$$HC=d\sqrt3.$$

Так как $$OH$$ — медиана, то $$AC=2HC$$, значит

$$AC=2d\sqrt3.$$

Площадь сечения равна произведению сторон прямоугольника: