Упр.331 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через образующую $$AA_1$$ цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен $$\varphi$$.

Подробный ответ

Пусть $$R$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Обозначим через $$S_1$$ площадь осевого сечения, а через $$S_2$$ — площадь сечения, проходящего через образующую $$AA_1$$.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2R$$ и $$h$$, поэтому

$$S_1=2Rh.$$

Найдём длину хорды $$AB$$ в основании цилиндра. В треугольнике, образованном радиусами и хордой, по теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin(180^\circ-2\varphi)}=\frac{R}{\sin\varphi}$$

Так как $$\sin(180^\circ-2\varphi)=\sin 2\varphi$$, то

$$AB=\frac{R\sin 2\varphi}{\sin\varphi} =\frac{2R\sin\varphi\cos\varphi}{\sin\varphi} =2R\cos\varphi.$$

Сечение $$ABB_1A_1$$ — прямоугольник со сторонами $$AB$$ и $$h$$, значит

$$S_2=AB\cdot h=2R\cos\varphi\cdot h.$$

Тогда

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2Rh}{2Rh\cos\varphi}=\frac{1}{\cos\varphi}.$$