Упр.331 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через образующую AA1 цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен ф.

Подробный ответ

Обозначим радиус основания цилиндра через $$R$$, а высоту — через $$h$$.

Пусть одна из секущих плоскостей проходит через ось цилиндра. Тогда площадь осевого сечения равна

$$S_1=2Rh.$$

Вторая плоскость проходит через образующую $$AA_1$$ и образует с первой плоскостью угол $$\varphi$$. Рассмотрим основание цилиндра. В треугольнике, составленном из радиуса основания и хорды $$AB$$, по теореме синусов имеем:

$$ \frac{AB}{\sin(180^\circ-2\varphi)}=\frac{R}{\sin\varphi} $$

Так как $$\sin(180^\circ-2\varphi)=\sin 2\varphi$$, то

$$ \frac{AB}{\sin 2\varphi}=\frac{R}{\sin\varphi} $$

откуда

$$ AB=\frac{R\sin 2\varphi}{\sin\varphi} =\frac{2R\sin\varphi\cos\varphi}{\sin\varphi} =2R\cos\varphi. $$

Площадь второго сечения равна площади прямоугольника:

$$S_2=AB\cdot h=2R\cos\varphi\cdot h.$$

Тогда искомое отношение площадей:

$$ \frac{S_1}{S_2}=\frac{2Rh}{2Rh\cos\varphi}=\frac{1}{\cos\varphi}. $$