Упр.330 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Высота цилиндра равна $$10\ \text{дм}$$. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удалённой на $$9\ \text{дм}$$ от неё, равна $$240\ \text{дм}^2$$. Найдите радиус цилиндра.
Пусть сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, пересекает основание по хорде $$PQ$$. Тогда сечение цилиндра — прямоугольник $$PNMQ$$, у которого одна сторона равна высоте цилиндра:
$$PQ=10\text{ дм}.$$
По условию площадь сечения равна $$240\text{ дм}^2$$, значит
$$PN=\frac{S_{PNMQ}}{PQ}=\frac{240}{10}=24\text{ дм}.$$
Рассмотрим основание цилиндра. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно $$9\text{ дм}$$, значит расстояние от центра основания до хорды $$PQ$$ тоже равно $$9\text{ дм}$$. В равнобедренном треугольнике, образованном радиусами к концам хорды и перпендикуляром из центра к хорде, этот перпендикуляр делит хорду пополам.
Тогда половина хорды равна
$$\frac{24}{2}=12\text{ дм}.$$
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой $$R$$ и катетами $$9$$ и $$12$$ получаем:
$$R^2=9^2+12^2=81+144=225,$$
$$R=\sqrt{225}=15\text{ дм}.$$
Ответ: $$15\text{ дм}$$.
