Упр.33 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.

Подробный ответ

Рассмотрим две прямые $$a$$ и $$c$$. Возможны только два случая:

$$a \parallel c$$;
$$a$$ и $$c$$ пересекаются в точке $$O$$.

Если $$a \parallel c$$, то прямая $$c$$ параллельна прямой $$a$$, лежащей в плоскости $$\gamma$$, и не лежит в этой плоскости. По теореме о параллельности прямой и плоскости получаем $$c \parallel \gamma$$. Аналогично, так как $$a \subset \alpha$$ и $$c \parallel a$$, то $$c \parallel \alpha$$. Следовательно, $$\alpha \cap \gamma = b$$ и $$c \parallel \alpha,\ c \parallel \gamma$$, значит $$a \parallel b \parallel c$$.

Если же $$a$$ и $$c$$ пересекаются в точке $$O$$, то по условию $$O \in \alpha$$ и $$O \in \beta$$, так как $$a = \alpha \cap \beta$$, а также $$O \in \gamma$$ и $$O \in \beta$$, так как $$c = \beta \cap \gamma$$. Значит, $$O \in \alpha \cap \beta \cap \gamma$$, то есть все три плоскости имеют общую точку.

Итак, прямые, по которым три плоскости попарно пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.