Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.33 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружности радиусов $$4$$ и $$9$$ касаются друг друга извне, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Найдите радиус окружности, касающейся двух данных окружностей и данной прямой.

Обозначим радиусы данных окружностей через $$r_1=9$$ и $$r_2=4$$, а радиус искомой окружности — через $$r_3$$. Пусть точки касания с прямой и между окружностями обозначены через $$A_1, A_2, A_3$$.

Для двух окружностей, касающихся одной прямой и друг друга извне, расстояние между точками касания с прямой выражается формулой

$$A_1A_2=\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2}=2\sqrt{r_1r_2}.$$

Аналогично, если окружность радиуса $$r_3$$ касается окружностей радиусов $$r_1$$ и $$r_2$$ и той же прямой, то

$$A_1A_3=2\sqrt{r_1r_3}, \qquad A_2A_3=2\sqrt{r_2r_3}.$$

Так как точки $$A_1, A_2, A_3$$ лежат на одной прямой, возможны два случая:

1. $$A_1A_3+A_2A_3=A_1A_2.$$

   Тогда

   $$2\sqrt{r_1r_3}+2\sqrt{r_2r_3}=2\sqrt{r_1r_2}.$$

   Подставим $$r_1=9$$, $$r_2=4$$:

   $$2\cdot 3\sqrt{r_3}+2\cdot 2\sqrt{r_3}=2\cdot 6,$$

   $$10\sqrt{r_3}=12,$$

   $$\sqrt{r_3}=\frac{6}{5}, \qquad r_3=\frac{36}{25}=1{,}44.$$

2. $$A_1A_2+A_2A_3=A_1A_3.$$

   Тогда

   $$2\sqrt{r_1r_2}+2\sqrt{r_2r_3}=2\sqrt{r_1r_3}.$$

   Подставим $$r_1=9$$, $$r_2=4$$:

   $$12+4\sqrt{r_3}=6\sqrt{r_3},$$

   $$12=2\sqrt{r_3},$$

   $$\sqrt{r_3}=6, \qquad r_3=36.$$

Следовательно, радиус искомой окружности может быть равен $$1{,}44$$ или $$36$$.

Ответ: $$1{,}44$$ или $$36$$.