Подготовка к ЕГЭ Задание 3 Упр.33 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты $$(1; 1)$$, $$(4; 3)$$ и $$(4; 5)$$.

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками:

$$BC=\sqrt{(4-4)^2+(5-3)^2}=2,$$
$$AC=\sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}=5,$$
$$AB=\sqrt{(4-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{13}.$$

Теперь применим формулу Герона:

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{\sqrt{13}+2+5}{2}=\frac{7+\sqrt{13}}{2}.$$

$$S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}.$$

Подставим найденные значения:

$$S=\sqrt{\frac{7+\sqrt{13}}{2}\cdot \frac{7-\sqrt{13}}{2}\cdot \frac{3+\sqrt{13}}{2}\cdot \frac{\sqrt{13}-3}{2}}.$$

$$S=\sqrt{\frac{49-13}{4}\cdot \frac{13-9}{4}}=\sqrt{9}=3.$$

Ответ: $$3$$