Упр.326 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Концы отрезка $$AB$$ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен $$r$$, его высота — $$h$$, а расстояние между прямой $$AB$$ и осью цилиндра равно $$d$$. Найдите: а) $$h$$, если $$r=10\ дм$$, $$d=8\ дм$$, $$AB=13\ дм$$; б) $$d$$, если $$h=6\ см$$, $$r=5\ см$$, $$AB=10\ см$$.

Обозначим через $$O$$ и $$O_1$$ центры оснований цилиндра, а через $$C$$ и $$H$$ — проекции точек $$A$$ и прямой $$AB$$ на плоскость основания. Тогда $$OC=r$$, $$OH=d$$, а $$CH$$ — половина хорды, получающейся в основании.

Так как $$OA=OB$$, то треугольник $$AOB$$ равнобедренный, а отрезок, проведённый из центра основания к хорде, перпендикулярен ей. Поэтому в прямоугольном треугольнике $$OCH$$:

$$CH=\sqrt{OC^2-OH^2}=\sqrt{r^2-d^2}.$$

Далее в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$AB$$ и катетами $$BC$$ и $$AC$$ используем теорему Пифагора.

а)

$$CH=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6\text{ дм},$$
значит,
$$AC=2CH=12\text{ дм}.$$

$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\text{ дм}.$$

Но $$BC=h$$, следовательно,

$$h=5\text{ дм}.$$

б)

$$AC=\sqrt{AB^2-h^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=8\text{ см}.$$

Тогда

$$CH=\frac{AC}{2}=4\text{ см}.$$

Из треугольника $$OCH$$:

$$d=\sqrt{r^2-CH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3\text{ см}.$$

Ответ: а) $$5$$ дм; б) $$3$$ см.