Упр.325 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как $$\pi:4$$. Найдите: а) угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения.
Обозначим площадь основания цилиндра через $$S$$, а площадь осевого сечения — через $$S_{\text{ос}}$$. Тогда
$$S=\pi R^2,\qquad S_{\text{ос}}=2R\cdot h$$
По условию
$$\frac{S}{S_{\text{ос}}}=\frac{\sqrt{3}\pi}{4}$$
Следовательно,
$$\frac{\pi R^2}{2Rh}=\frac{\sqrt{3}\pi}{4}$$
$$\frac{R}{2h}=\frac{\sqrt{3}}{4} \quad\Rightarrow\quad \frac{R}{h}=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{h}{R}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
а)
Рассмотрим диагональ осевого сечения $$A_1B$$. Её проекция на плоскость основания — отрезок $$AB$$, причём $$AB=2R$$, а высота цилиндра равна $$h$$. Тогда для угла $$\varphi$$ между диагональю и плоскостью основания
$$\tan\varphi=\frac{h}{AB}=\frac{h}{2R}$$
Подставим найденное отношение:
$$\tan\varphi=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
Значит,
$$\varphi=30^\circ$$
б)
Диагонали осевого сечения равны, поэтому они образуют с плоскостью основания равные углы $$30^\circ$$. Угол между диагоналями равен
$$180^\circ-2\cdot 30^\circ=120^\circ$$
Ответ: а) $$30^\circ$$; б) $$120^\circ$$.
