Упр.321 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Диагональ осевого сечения цилиндра равна $$48\ \text{см}$$. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен $$60^\circ$$. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.
Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра $$h$$, а другая — диаметру основания $$2R$$. Диагональ этого прямоугольника равна $$48$$ см, а угол между диагональю и образующей цилиндра равен $$60^\circ$$.
Обозначим диагональ осевого сечения через $$AB_1$$, а образующую через $$B_1B$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AB B_1$$:
$$\cos \angle AB_1B=\frac{B_1B}{AB_1}$$
$$\cos 60^\circ=\frac{h}{48}$$
$$\frac{1}{2}=\frac{h}{48}$$
$$h=24\text{ см}$$
Теперь найдём радиус основания. В том же треугольнике:
$$\sin \angle AB_1B=\frac{AB}{AB_1}$$
$$\sin 60^\circ=\frac{2R}{48}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2R}{48}$$
$$2R=24\sqrt{3}$$
$$R=12\sqrt{3}\text{ см}$$
Площадь основания цилиндра:
$$S=\pi R^2=\pi(12\sqrt{3})^2=\pi\cdot 144\cdot 3=432\pi\text{ см}^2$$
Ответ: а) $$24$$ см; б) $$12\sqrt{3}$$ см; в) $$432\pi$$ см$$^2$$.
