Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.32 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ касаются друг друга извне в точке $$C$$. Прямая касается этих окружностей в точках $$A$$ и $$B$$, отличных от точки $$C$$. Найдите угол $$\angle AO_2B$$, если $$\operatorname{tg}\angle ABC=\frac{1}{2}$$.

Обозначим $$\angle ABC=\alpha.$$ Тогда по условию $$\tg \alpha=\frac12.$$

Так как прямая $$AB$$ касается окружностей в точках $$A$$ и $$B$$, то радиусы $$O_1A$$ и $$O_2B$$ перпендикулярны этой прямой. Кроме того, окружности касаются внешним образом в точке $$C$$, значит точки $$O_1, C, O_2$$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Угол между касательными к окружностям и хордой равен половине соответствующей дуги, поэтому

$$\angle ACO_1=\frac12\bigl(180^\circ-\angle AO_1C\bigr), \qquad \angle BCO_2=\frac12\bigl(180^\circ-\angle BO_2C\bigr).$$

Из-за касания окружностей и расположения точек получаем, что угол при точке $$C$$ в треугольнике $$ABC$$ прямой:

$$\angle ACB=90^\circ.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$\tg \alpha=\frac{AC}{BC}=\frac12,$$

откуда $$BC=2AC.$$ Следовательно,

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{AC^2+4AC^2}=AC\sqrt5.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BO_2C$$. Он равнобедренный, так как $$O_2B=O_2C$$. Поэтому

$$\angle BCO_2=\angle CBO_2=90^\circ-\angle ABC=90^\circ-\alpha.$$

Тогда

$$\angle BO_2C=180^\circ-2\angle BCO_2=2\alpha.$$

Найдём $$\sin \alpha$$ и $$\cos \alpha$$ по условию $$\tg \alpha=\frac12$$:

$$\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac14}}=\frac{2}{\sqrt5},$$

$$\sin \alpha=\tg \alpha\cdot \cos \alpha=\frac12\cdot \frac{2}{\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}.$$

Тогда

$$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha=2\cdot \frac{1}{\sqrt5}\cdot \frac{2}{\sqrt5}=\frac45.$$

По теореме синусов в треугольнике $$BO_2C$$:

$$\frac{BC}{\sin \angle BO_2C}=\frac{BO_2}{\sin \angle BCO_2}.$$

Подставим найденные значения:

$$\frac{2AC}{\sin 2\alpha}=\frac{BO_2}{\sin(90^\circ-\alpha)}.$$

Так как $$\sin 2\alpha=\frac45$$, $$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt5}$$, то

$$\frac{2AC}{4/5}=\frac{BO_2}{2/\sqrt5},$$

откуда

$$BO_2=AC\sqrt5=AB.$$

Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$AO_2B$$ катеты равны: $$AB=BO_2$$. Значит, этот треугольник равнобедренный прямоугольный, и

$$\angle AO_2B=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$.