Упр.318 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна $$180^\circ$$.

Обозначим двугранный угол правильного тетраэдра через $$\varphi$$, а двугранный угол правильного октаэдра через $$\psi$$.

Из известных свойств правильных многогранников получаем:

$$\cos \varphi=-\frac{1}{3},$$
$$\cos \psi=\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$\cos \psi=-\cos \varphi.$$

Значит, углы $$\varphi$$ и $$\psi$$ дополнительны, то есть

$$\varphi+\psi=180^\circ.$$

Что и требовалось доказать.