Упр.317 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.
Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и обозначим центры его граней через $$M, Q, K, L, N, P$$.
Соединим центры соседних граней. Получим многогранник, у которого все вершины — центры граней куба. Докажем, что это правильный октаэдр.
Достаточно показать, что все его грани — равные правильные треугольники. Например, рассмотрим грань с вершинами $$M, Q, K$$. Точки $$M, Q, K$$ — центры трёх граней куба, поэтому отрезки $$MQ$$, $$QK$$ и $$KM$$ соединяют середины соответствующих рёбер куба и лежат в плоскостях симметрии куба.
Так как куб обладает симметрией относительно плоскостей, проходящих через середины противоположных рёбер и через противоположные вершины, то все такие треугольники равны. Кроме того, в поперечном сечении куба через центры трёх соседних граней получается квадрат, а значит, соответствующие треугольники равносторонние.
Следовательно, все грани полученного многогранника — равные правильные треугольники. Значит, этот многогранник является правильным октаэдром.
