Упр.316 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.

Рассмотрим правильный тетраэдр. У него каждая грань — равносторонний треугольник, а все грани равны между собой.

Обозначим центры четырёх граней тетраэдра через $$A_1,\;B_1,\;C_1,\;D_1.$$

Докажем, что эти точки являются вершинами правильного тетраэдра.

В правильном тетраэдре существует несколько плоскостей симметрии. При отражении относительно такой плоскости одна грань переходит в другую, а её центр — в центр соответствующей грани. Значит, расстояния между центрами равны для всех пар симметрично расположенных граней.

Кроме того, каждая грань полученного многогранника лежит в плоскости одной из граней исходного тетраэдра и представляет собой треугольник, у которого все стороны равны, так как соответствующие отрезки соединяют центры равных граней правильного тетраэдра.

Следовательно, все рёбра многогранника $$A_1B_1C_1D_1$$ равны, а его грани — равносторонние треугольники. Значит, это правильный тетраэдр.