Упр.315 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.

Рассмотрим правильный октаэдр и соединим центры его граней. Получим многогранник, у которого каждая вершина соответствует центру одной грани исходного октаэдра.

Правильный октаэдр обладает несколькими плоскостями симметрии. Отражение относительно любой такой плоскости переводит грани октаэдра в грани, а их центры — в центры соответствующих граней. Значит, полученный многогранник также симметричен.

У правильного октаэдра 8 граней, следовательно, у нового многогранника 8 вершин и 6 граней. Каждая его грань является четырёхугольником. Из симметрии следует, что все стороны этих четырёхугольников равны, а диагонали взаимно перпендикулярны. Значит, каждая грань — квадрат.

Итак, полученный многогранник имеет 6 квадратных граней. Такой многогранник является кубом.

Ответ

Центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.