Упр.315 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.
Рассмотрим правильный октаэдр и соединим центры его граней.
У правильного октаэдра есть плоскости симметрии. При отражении относительно такой плоскости центры симметрично расположенных граней переходят друг в друга, поэтому полученная фигура также обладает симметрией правильного многогранника.
В правильном октаэдре 8 граней, значит, у построенной фигуры будет 8 вершин. Каждая грань октаэдра — равносторонний треугольник, а центры соседних граней соединяются отрезками, лежащими в плоскостях симметрии. Получающиеся грани новой фигуры — четырёхугольники.
Каждый такой четырёхугольник имеет попарно параллельные стороны, а его диагонали взаимно перпендикулярны и равны, следовательно, это квадрат.
Итак, все грани полученного многогранника — квадраты, значит, это куб. Следовательно, центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.
