Упр.314 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7 : 3. Найдите стороны оснований пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим сторону меньшего основания усечённой пирамиды через $$3x$$, тогда сторона большего основания равна $$7x$$.

Рассмотрим сечение, проходящее через высоту и апофему. Получаем прямоугольный треугольник $$\triangle K H_1 H$$, где $$H_1H=65\text{ см}$$ — апофема, а $$O O_1=63\text{ см}$$ — высота усечённой пирамиды.

Так как основания — квадраты, то

$$KH=HO-OK=\frac{1}{2}(AB-A_1B_1)=\frac{1}{2}(7x-3x)=2x.$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $$\triangle K H_1 H$$:

$$ KH^2=HH_1^2-OO_1^2 $$

$$ KH=\sqrt{65^2-63^2}=\sqrt{4225-3969}=\sqrt{256}=16\text{ см}. $$

Тогда

$$2x=16,\quad x=8\text{ см}.$$

Следовательно,

$$A_1B_1=3x=24\text{ см},$$

$$AB=7x=56\text{ см}.$$