Упр.314 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота равна $$63\ \text{см}$$, апофема — $$65\ \text{см}$$, а стороны оснований относятся как $$7:3$$. Найдите стороны оснований пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим сторону меньшего основания усечённой пирамиды через $$3x$$, тогда сторона большего основания равна $$7x$$.

Рассмотрим сечение, проходящее через ось пирамиды и середины соответствующих сторон оснований. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник, где:

$$HH_1=65\text{ см}$$ — апофема, $$OO_1=63\text{ см}$$ — высота усечённой пирамиды.

Тогда горизонтальный катет равен половине разности сторон оснований:

$$KH=\frac{1}{2}(AB-A_1B_1)=\frac{1}{2}(7x-3x)=2x.$$

По теореме Пифагора:

$$KH^2=HH_1^2-OO_1^2$$

$$KH=\sqrt{65^2-63^2}=\sqrt{(65-63)(65+63)}=\sqrt{2\cdot 128}=16\text{ см}.$$

Следовательно,

$$2x=16,$$

$$x=8.$$

Тогда стороны оснований равны:

$$A_1B_1=3x=24\text{ см},$$

$$AB=7x=56\text{ см}.$$