Упр.313 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а ее высота 1 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — данная усечённая правильная треугольная пирамида. Тогда её боковая поверхность состоит из трёх равных боковых трапеций, значит

$$S_{\text{бок}}=3S_{ABA_1B_1}.$$

Найдём площадь одной трапеции $$ABA_1B_1$$. В правильной усечённой пирамиде боковая грань — равнобедренная трапеция, а её высота равна апофеме усечённой пирамиды.

Рассмотрим сечение через ось пирамиды и середины соответствующих сторон оснований. Тогда

$$HB=BO-HO=R_{ABC}-R_{A_1B_1C_1}.$$

Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен $$R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$$, поэтому

$$HB=\frac{12}{\sqrt{3}}-\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.$$

Из прямоугольного треугольника $$B_1BH$$ получаем

$$B_1B^2=HB^2+HH_1^2,$$

где $$HH_1=1$$ дм — высота усечённой пирамиды. Тогда

$$B_1B=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{13}\ \text{дм}.$$

В равнобедренной трапеции $$ABA_1B_1$$ высота равна

$$A_1D=\sqrt{B_1B^2-\left(\frac{AB-A_1B_1}{2}\right)^2}.$$

Подставим значения:

$$A_1D=\sqrt{13-\left(\frac{12-6}{2}\right)^2}=\sqrt{13-9}=2\ \text{дм}.$$