Упр.313 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а её высота — 1 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Так как усечённая пирамида правильная, её боковая поверхность состоит из трёх равных равнобедренных трапеций. Поэтому

$$S_{\text{бок}}=3S_{AA_1B_1B}.$$

Найдём площадь одной боковой грани $$AA_1B_1B$$.

Основания трапеции равны $$AB=12$$ дм и $$A_1B_1=6$$ дм, значит её средняя линия равна

$$\frac{AB+A_1B_1}{2}=\frac{12+6}{2}=9.$$

Остаётся найти высоту трапеции. Обозначим её через $$A_1D$$. Тогда

$$S_{AA_1B_1B}=9\cdot A_1D.$$

Найдём $$A_1D$$.

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — центры оснований. Тогда радиусы описанных окружностей равносторонних треугольников равны

$$R_{ABC}=\frac{12}{\sqrt{3}}, \qquad R_{A_1B_1C_1}=\frac{6}{\sqrt{3}}.$$

Следовательно,

$$HB=BO-HO=R_{ABC}-R_{A_1B_1C_1}=\frac{12}{\sqrt{3}}-\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$B_1BH$$ имеем

$$B_1B=\sqrt{B_1H^2+HB^2}=\sqrt{1^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{13}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$AA_1D$$:

$$A_1D=\sqrt{A_1A^2-AD^2}.$$

Так как $$AD=\dfrac{AB-A_1B_1}{2}=\dfrac{12-6}{2}=3,$$ то

$$A_1D=\sqrt{13-3^2}=\sqrt{4}=2.$$

Тогда площадь одной боковой грани равна

$$S_{AA_1B_1B}=9\cdot 2=18\ \text{дм}^2.$$

Следовательно,

$$S_{\text{бок}}=3\cdot 18=54\ \text{дм}^2.$$

Ответ: $$54\ \text{дм}^2$$.