Упр.312 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной $$n$$-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол $$\varphi$$. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.

Пусть $$O$$ — центр правильного $$n$$-угольника основания, $$A_1$$ — вершина основания, $$K$$ — вершина пирамиды, $$H_1$$ — основание перпендикуляра, опущенного из $$A_1$$ на ребро $$KO$$ в боковой грани.

Тогда $$OH_1$$ — радиус вписанной окружности правильного многоугольника, поэтому

$$OH_1=OA_1\cos\frac{180^\circ}{n}.$$

Угол между плоскостью основания и боковым ребром равен $$\theta=\angle KA_1O$$, а в прямоугольном треугольнике $$KA_1O$$

$$\tg\theta=\frac{KO}{OA_1}.$$

Из прямоугольного треугольника $$KOH_1$$ имеем

$$\tg\varphi=\frac{KO}{OH_1},$$

где $$\varphi$$ — угол между боковой гранью и плоскостью основания. Тогда

$$\tg\theta=\frac{KO}{OA_1} =\frac{KO}{OH_1}\cdot\frac{OH_1}{OA_1} =\tg\varphi\cdot\cos\frac{180^\circ}{n}.$$

Ответ: $$\tg\theta=\cos\frac{180^\circ}{n}\cdot\tg\varphi.$$