Упр.312 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной л-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол ф. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр правильного $$n$$-угольника основания, через $$A_1$$ и $$A_2$$ — соседние вершины основания, а через $$K$$ — вершину пирамиды. Пусть $$H_1$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$O$$ на сторону $$A_1A_2$$.

Тогда $$OH_1$$ — радиус вписанной в правильный многоугольник окружности, поэтому

$$OH_1=r=OA_1\cos\frac{180^\circ}{n}.$$

Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен $$\varphi$$, значит в сечении, перпендикулярном ребру $$A_1A_2$$, имеем

$$\tg\varphi=\frac{KO}{OH_1}.$$

Отсюда

$$KO=OH_1\cdot\tg\varphi.$$

Теперь рассмотрим угол между плоскостью основания и боковым ребром. Для него

$$\tg\theta=\frac{KO}{OA_2}.$$

Так как $$OH_1=OA_2\cos\frac{180^\circ}{n}$$, то

$$OA_2=\frac{OH_1}{\cos\frac{180^\circ}{n}}.$$

Подставим это в формулу для $$\tg\theta$$:

$$ \tg\theta=\frac{KO}{OA_2} =\frac{OH_1\cdot\tg\varphi}{OH_1/\cos\frac{180^\circ}{n}} =\cos\frac{180^\circ}{n}\cdot\tg\varphi. $$