Упр.311 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами $$AC=13\text{ см}$$, $$AB=15\text{ см}$$, $$CB=14\text{ см}$$. Боковое ребро $$DA$$ перпендикулярно к плоскости основания и равно $$9\text{ см}$$. а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды; б) докажите, что основание перпендикуляра, проведённого из вершины $$A$$ к плоскости грани $$BDC$$, лежит на высоте этой грани, и найдите длину этого перпендикуляра.

Так как $$AD \perp (ABC),$$ то треугольники $$BAD$$ и $$CAD$$ прямоугольные.

По теореме Пифагора:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{15^2+9^2}=\sqrt{306}=3\sqrt{34}\text{ см},$$
$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{13^2+9^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}\text{ см}.$$

Найдём площадь основания $$\triangle ABC$$ по формуле Герона:

$$p=\frac{13+15+14}{2}=21,$$
$$S_{ABC}=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-15)\cdot(21-14)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 6\cdot 7}=84\text{ см}^2.$$

Теперь найдём площадь грани $$BDC$$. Для треугольника со сторонами $$BD=3\sqrt{34},$$ $$CD=5\sqrt{10},$$ $$BC=14$$ снова применим формулу Герона:

$$p=\frac{3\sqrt{34}+5\sqrt{10}+14}{2},$$
$$S_{BDC}=105\text{ см}^2.$$

Площадь боковых граней $$ABD$$ и $$ACD$$:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 9=67{,}5\text{ см}^2,$$
$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 9=58{,}5\text{ см}^2.$$

Тогда полная поверхность пирамиды равна

$$S_{\text{полн}}=S_{ABC}+S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BDC}=84+67{,}5+58{,}5+105=315\text{ см}^2.$$

Докажем, что основание перпендикуляра, опущенного из точки $$A$$ на плоскость грани $$BDC,$$ лежит на высоте этой грани.

Пусть $$H$$ — основание высоты треугольника $$BDC$$, проведённой из точки $$D$$ к стороне $$BC$$, то есть $$DH\perp BC.$$ Проведём из точки $$A$$ перпендикуляр $$AE$$ к плоскости $$BDC$$ и рассмотрим проекцию отрезка $$AE$$ на плоскость $$BDC$$. По теореме о трёх перпендикулярах из того, что $$DH\perp BC$$ и $$AD\perp (ABC),$$ следует, что основание перпендикуляра из $$A$$ к плоскости $$BDC$$ лежит на прямой $$DH$$. Значит, $$E\in DH$$.

Найдём длину $$AE$$.

Из формулы площади треугольника $$BDC$$:

$$S_{BDC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot DH,$$
$$DH=\frac{2S_{BDC}}{BC}=\frac{2\cdot 105}{14}=15\text{ см}.$$

Аналогично для треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AH,$$
$$AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{2\cdot 84}{14}=12\text{ см}.$$

Треугольник $$ADH$$ прямоугольный, поэтому

$$AH=\frac{AD\cdot AE}{DH}.$$

Отсюда

$$AE=\frac{AH\cdot DH}{AD}=\frac{12\cdot 15}{9}=20\text{ см}.$$

Ответ: $$S_{\text{полн}}=315\text{ см}^2,$$ $$AE=20\text{ см}.$$