Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.31 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ и АС равны 4 и 3, точка D — середина гипотенузы ВС. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ADC и ABD.

Найдём сначала гипотенузу прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5.$$

Так как $$D$$ — середина гипотенузы прямоугольного треугольника, то

$$AD=BD=CD=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}.$$

Обозначим центры вписанных окружностей треугольников $$ABD$$ и $$ADC$$ через $$E$$ и $$F$$ соответственно.

В треугольнике $$BDA$$:

$$S_{BDA}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot DM=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1{,}5=3,$$

где $$DM$$ — высота к основанию $$AB$$. Тогда радиус вписанной окружности равен

$$EM=\frac{2S_{BDA}}{BD+DA+BA}=\frac{2\cdot 3}{\frac{5}{2}+\frac{5}{2}+4}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.$$

В треугольнике $$CDA$$:

$$S_{CDA}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot DN=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3,$$

поэтому

$$FN=\frac{2S_{CDA}}{CD+CA+DA}=\frac{2\cdot 3}{\frac{5}{2}+3+\frac{5}{2}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$$

Теперь найдём расстояние между центрами. Так как точки $$E$$ и $$F$$ лежат на одной горизонтали, а их проекции на сторону $$AD$$ дают отрезки $$DE$$ и $$DF$$, то

$$DE=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}, \qquad DF=2-\frac{5}{4}=\frac{3}{4}.$$

Тогда по теореме Пифагора:

$$ EF=\sqrt{DE^2+DF^2} =\sqrt{\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^2} =\sqrt{\frac{25}{36}+\frac{9}{16}} =\sqrt{\frac{100+81}{144}} =\frac{\sqrt{181}}{12}. $$

Ответ: $$\frac{\sqrt{181}}{12}$$.