Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.31 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ катеты $$AB$$ и $$AC$$ равны $$4$$ и $$3$$, точка $$D$$ — середина гипотенузы $$BC$$. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $$ADC$$ и $$ABD$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5.$$

Так как $$D$$ — середина гипотенузы $$BC$$, то

$$AD=BD=CD=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}.$$

Обозначим центры вписанных окружностей треугольников $$ABD$$ и $$ADC$$ через $$E$$ и $$F$$ соответственно.

Найдём радиусы этих окружностей.

В треугольнике $$ABD$$:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot DM=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{3}{2}=3,$$

где $$DM$$ — высота к стороне $$AB$$. Тогда

$$r_1=\frac{2S_{ABD}}{AB+BD+AD}=\frac{2\cdot 3}{4+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.$$

В треугольнике $$ADC$$:

$$S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot DN=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3,$$

поэтому

$$r_2=\frac{2S_{ADC}}{AC+CD+AD}=\frac{2\cdot 3}{3+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$$

Теперь найдём расстояние между центрами. Так как центры вписанных окружностей лежат на биссектрисах углов при вершине $$D$$, то в прямоугольном треугольнике с катетами

$$DE=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}, \qquad DF=2-\frac{3}{4}=\frac{5}{4},$$

получаем по теореме Пифагора:

$$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{4}\right)^2} =\sqrt{\frac{25}{36}+\frac{25}{16}} =\sqrt{\frac{325}{144}} =\frac{5\sqrt{13}}{12}.$$

Ответ: $$\frac{5\sqrt{13}}{12}$$.