Упр.31 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Плоскость а параллельна стороне BC треугольника ABC и проходит через середину стороны AB. Докажите, что плоскость а проходит также через середину стороны AC.

Пусть плоскость $$\alpha$$ пересекает плоскость треугольника $$ABC$$ по прямой $$DE$$, где $$D \in AB$$, $$E \in AC$$.

Так как $$BC \parallel \alpha$$ и прямая $$BC$$ лежит в плоскости $$ABC$$, то линия пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$\alpha$$ параллельна прямой $$BC$$. Значит,

$$DE \parallel BC.$$

По условию $$D$$ — середина стороны $$AB$$, то есть $$AD=DB$$. В треугольнике $$ABC$$ прямая, проходящая через середину одной стороны и параллельная второй стороне, пересекает третью сторону в её середине. Следовательно, $$E$$ — середина стороны $$AC$$.

Итак, плоскость $$\alpha$$ проходит через середину стороны $$AC$$, что и требовалось доказать.

Ответ: $$E$$ — середина $$AC$$.