Упр.309 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды с равными боковыми рёбрами является прямоугольник со сторонами $$6\ \text{дм}$$ и $$8\ \text{дм}$$. Высота пирамиды равна $$6\ \text{дм}$$. Найдите площадь сечения, проведённого через меньшую сторону и середину высоты.

Подробный ответ

Обозначим вершину пирамиды через $$K$$, а основание — прямоугольник $$ABCD$$, где $$AD=6$$ дм, $$AB=8$$ дм. Пусть $$P$$ — середина высоты пирамиды, то есть $$KP=PO$$, где $$O$$ — центр прямоугольника.

Проведём сечение через меньшую сторону $$AD$$ и точку $$P$$. Оно пересекает рёбра $$KA$$ и $$KD$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно, поэтому сечением является четырёхугольник $$DEFA$$.

Так как боковые рёбра пирамиды равны, то вершина $$K$$ проектируется в центр прямоугольника $$O$$, а $$KO$$ — высота пирамиды.

Рассмотрим треугольники $$CKO$$ и секущую $$EA$$. По теореме Чевы–Менелая:

$$\frac{CE}{EK}\cdot \frac{KP}{PO}\cdot \frac{OA}{AC}=1.$$

Так как $$KP=PO$$ и $$OA=\frac{AC}{2}$$, получаем

$$\frac{CE}{EK}=2.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CAE$$ и секущую $$OK$$. По теореме Чевы–Менелая:

$$\frac{CO}{OA}\cdot \frac{AP}{PE}\cdot \frac{EK}{KC}=1,$$

откуда

$$\frac{AP}{PE}=3.$$

Аналогично для треугольника $$BKO$$ и секущей $$FD$$ получаем

$$\frac{BF}{FK}=2,$$

а для треугольника $$BDF$$ и секущей $$OK$$:

$$\frac{DP}{PF}=3.$$

Из этих соотношений следует, что треугольники $$DPA$$ и $$FPE$$ подобны, поэтому

$$\frac{EF}{AD}=\frac{1}{3},$$

то есть

$$EF=\frac{AD}{3}=\frac{6}{3}=2\text{ дм}.$$

Следовательно, $$DEFA$$ — трапеция с основаниями $$AD=6$$ и $$EF=2$$.

Найдём её высоту. Высота трапеции равна $$\frac{4}{3}$$ высоты треугольника $$DPA$$, а треугольник $$DPA$$ прямоугольный, так как $$PO\perp$ основанию, значит$$PO\perp AD$$. В прямоугольном треугольнике$$AOD$$:

$$AO=\frac{AB}{2}=4\text{ дм},$$

поэтому

$$DP=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ дм}.$$

Тогда высота трапеции

$$h=\frac{4}{3}\cdot 5=\frac{20}{3}\text{ дм}.$$

Площадь сечения:

$$
S=\frac{1}{2}(AD+EF)\cdot h
=\frac{1}{2}(6+2)\cdot \frac{20}{3}
=\frac{80}{3}\text{ дм}^2.
$$

Ответ:$$\frac{80}{3}\text{ дм}^2$$.