Упр.308 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является ромб со стороной $$5\ \text{см}$$ и меньшей диагональю $$6\ \text{см}$$. Высота пирамиды, равная $$3{,}2\ \text{см}$$, проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты боковых граней пирамиды, проведённые из её вершины.

Подробный ответ

По свойству ромба диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Значит, если $$O$$ — точка пересечения диагоналей, то

$$BO=\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. По теореме Пифагора:

$$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\text{ см}.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$BOC$$ имеем $$OC=AO=4\text{ см}$$, а $$BC=AB=5\text{ см}$$. Высота $$OH$$, опущенная из точки $$O$$ на сторону $$BC$$, равна

$$OH=\frac{BO\cdot OC}{BC}=\frac{3\cdot 4}{5}=2{,}4\text{ см}.$$

Высота пирамиды $$OK=3{,}2\text{ см}$$ перпендикулярна основанию, поэтому треугольник $$KOH$$ прямоугольный. Тогда высота боковой грани, проведённая из вершины $$K$$, равна

$$KH=\sqrt{OK^2+OH^2}=\sqrt{3{,}2^2+2{,}4^2}=\sqrt{10{,}24+5{,}76}=\sqrt{16}=4\text{ см}.$$

Из равенства треугольников, получающихся при проведении высот к сторонам ромба, все высоты боковых граней пирамиды равны между собой.

Ответ: $$4\text{ см}$$.