Упр.308 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см, проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты боковых граней пирамиды, проведенные из ее вершины.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба, $$K$$ — вершина пирамиды, $$OK \perp ABCD$$, $$OK=3{,}2$$ см.

Так как основание — ромб, то его диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Значит, $$DO=BO=\dfrac{BD}{2}=3$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. По теореме Пифагора:

$$ AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\text{ см}. $$

Треугольники $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$ равны, поэтому все высоты боковых граней, проведённые из вершины $$K$$, равны между собой. Достаточно найти одну из них, например $$KH$$, где $$H \in BC$$ и $$KH \perp BC$$.

В треугольнике $$BOC$$ высота $$OH$$, опущенная на гипотенузу $$BC$$, равна:

$$ OH=\frac{OB\cdot OC}{BC}=\frac{3\cdot 4}{5}=2{,}4\text{ см}. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$KOH$$:

$$ KH=\sqrt{OK^2+OH^2}=\sqrt{3{,}2^2+2{,}4^2} =\sqrt{10{,}24+5{,}76} =\sqrt{16}=4\text{ см}. $$

Следовательно, все высоты боковых граней пирамиды равны $$4$$ см.