Упр.307 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной пирамиде $$MABCD$$ $$AM=b$$, $$AD=a$$. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью $$\alpha$$, проходящей через диагональ $$BD$$ основания, параллельно ребру $$MA$$, и найдите площадь сечения; б) докажите, что точки $$M$$ и $$C$$ равноудалены от плоскости $$\alpha$$.
Обозначим середину стороны $$MC$$ через $$H$$. Тогда $$MH=HC$$.
а) Найдём сечение и его площадь
Плоскость сечения проходит через диагональ $$BD$$ основания и параллельна ребру $$MA$$. В плоскости $$ACM$$ проведём через точку $$H$$ прямую $$OH$$, параллельную $$AM$$. Тогда $$OH$$ — средняя линия треугольника $$ACM$$, значит
$$OH \parallel AM,$$
а так как $$AM \parallel BHD$$, то $$OH \parallel BHD$$. Следовательно, плоскость $$BHD$$ и есть искомое сечение.
Треугольник $$BHD$$ равнобедренный, поэтому медиана $$HO$$ является его высотой.
Найдём длины:
$$DB=a\sqrt{2},$$
так как $$ABCD$$ — квадрат со стороной $$a$$, и
$$OH=\frac{AM}{2}=\frac{b}{2}.$$
Тогда площадь сечения равна
$$S_{BHD}=\frac{1}{2}\cdot DB \cdot OH =\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{b}{2} =\frac{ab}{2\sqrt{2}}.$$
б) Докажем, что точки $$M$$ и $$C$$ равноудалены от плоскости $$BHD$$
Проведём перпендикуляры из точек $$M$$ и $$C$$ к плоскости $$BHD$$. Пусть их основания — $$H_m$$ и $$H_c$$ соответственно. Тогда прямые $$MH_m$$ и $$CH_c$$ параллельны, так как обе перпендикулярны одной и той же плоскости.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle MHH_m$$ и $$\triangle CHH_c$$. У них:
- $$MH=HC$$, так как $$H$$ — середина $$MC$$;
- $$\angle MHH_m=\angle CHH_c$$ как углы между соответственно параллельными прямыми.
Следовательно, $$\triangle MHH_m \cong \triangle CHH_c$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда
$$MH_m=CH_c.$$
Значит, точки $$M$$ и $$C$$ равноудалены от плоскости $$BHD$$.
Ответ: $$S_{BHD}=\dfrac{ab}{2\sqrt{2}}$$; точки $$M$$ и $$C$$ равноудалены от плоскости сечения.
