Упр.306 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и составляет угол ф с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Обозначим сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды через $$x$$. Тогда площадь основания равна

$$S_{\text{осн}}=x^2.$$

Пусть $$O$$ — центр квадрата основания, $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$O$$ на сторону основания в боковой грани. Тогда $$OH=\dfrac{x}{2}$$, а по условию угол между высотой $$KO=h$$ и плоскостью боковой грани равен $$\varphi$$. В прямоугольном треугольнике $$OKH$$ имеем

$$\tan\varphi=\frac{OH}{OK}=\frac{x/2}{h},$$

откуда

$$x=2h\tan\varphi.$$

Тогда площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=x^2=4h^2\tan^2\varphi.$$

Найдём боковую поверхность. В правильной пирамиде все боковые грани равны, поэтому

$$S_{\text{бок}}=4S_{\triangle BKC}=2\cdot BC\cdot KH.$$

Из прямоугольного треугольника $$OKH$$:

$$\cos\varphi=\frac{OK}{KH}=\frac{h}{KH},$$

значит

$$KH=\frac{h}{\cos\varphi}.$$

Так как $$BC=x=2h\tan\varphi$$, то

$$S_{\text{бок}}=2\cdot 2h\tan\varphi \cdot \frac{h}{\cos\varphi}=4h^2\frac{\tan\varphi}{\cos\varphi}.$$

Следовательно, полная поверхность пирамиды равна

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=4h^2\tan^2\varphi+4h^2\frac{\tan\varphi}{\cos\varphi}.$$

Вынесем общий множитель:

$$S_{\text{полн}}=4h^2\tan\varphi\left(\tan\varphi+\frac{1}{\cos\varphi}\right).$$

Ответ

$$S_{\text{полн}}=4h^2\tan\varphi\left(\tan\varphi+\frac{1}{\cos\varphi}\right).$$