Упр.306 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна $$h$$ и составляет угол $$\varphi$$ с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Обозначим сторону основания через $$x$$. Тогда площадь основания пирамиды равна
$$S_{\text{осн}}=x^2.$$
Рассмотрим сечение, проходящее через высоту $$KO$$ и середину $$H$$ стороны основания. В прямоугольном треугольнике $$OKH$$ угол между высотой пирамиды и плоскостью боковой грани равен $$\varphi$$, поэтому
$$\tan\varphi=\frac{OH}{KO}.$$
Так как $$KO=h$$, а $$OH=\frac{x}{2}$$, получаем
$$\frac{x}{2}=h\tan\varphi,$$
откуда
$$x=2h\tan\varphi.$$
Тогда
$$S_{\text{осн}}=x^2=4h^2\tan^2\varphi.$$
Найдём площадь боковой поверхности. В правильной четырёхугольной пирамиде все боковые грани равны, поэтому
$$S_{\text{бок}}=4\cdot S_{\triangle BKC}=2\cdot BC\cdot KH.$$
Из прямоугольного треугольника $$OKH$$ имеем
$$\cos\varphi=\frac{OK}{KH}=\frac{h}{KH},$$
значит
$$KH=\frac{h}{\cos\varphi}.$$
Так как $$BC=x=2h\tan\varphi,$$ то
$$S_{\text{бок}}=2\cdot 2h\tan\varphi\cdot \frac{h}{\cos\varphi}=4h^2\frac{\tan\varphi}{\cos\varphi}.$$
Следовательно, полная площадь поверхности пирамиды равна
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=4h^2\tan^2\varphi+4h^2\frac{\tan\varphi}{\cos\varphi}.$$
Ответ: $$S_{\text{полн}}=4h^2\left(\tan^2\varphi+\frac{\tan\varphi}{\cos\varphi}\right).$$
