Упр.305 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна $$h$$, плоский угол при вершине равен $$\alpha$$. Найдите площадь боковой поверхности.

Обозначим сторону основания через $$x$$. Тогда в правильной четырёхугольной пирамиде боковая поверхность состоит из четырёх равных треугольников, поэтому

$$S_{\text{бок}}=4S_{\triangle KBC}=2\cdot BC\cdot KH.$$

Так как основание — квадрат, то

$$BC=x,\qquad OB=\frac{x}{\sqrt2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KOH$$, где $$KO=h$$. Тогда

$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BH}{KH}=\frac{x/2}{KH},$$

откуда

$$KH=\frac{x}{2\tan\frac{\alpha}{2}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$KHB$$ имеем

$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BH}{KH}=\frac{x/2}{\sqrt{h^2+\frac{x^2}{4}}}.$$

Возведём в квадрат и преобразуем:

$$\frac{x^2}{4}=\tan^2\frac{\alpha}{2}\left(h^2+\frac{x^2}{4}\right),$$

$$\frac{x^2}{4}\left(1-\tan^2\frac{\alpha}{2}\right)=h^2\tan^2\frac{\alpha}{2},$$

$$x=2h\tan\frac{\alpha}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}}.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\cdot x\cdot KH =2\cdot \left(2h\tan\frac{\alpha}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}}\right)\cdot \frac{x}{2\tan\frac{\alpha}{2}}.$$

После подстановки и упрощения получаем

$$S_{\text{бок}}=2h^2\tan\alpha.$$

Ответ: $$S_{\text{бок}}=2h^2\tan\alpha$$.