Упр.304 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.
Пусть $$ABCD$$ — квадрат основания правильной пирамиды, $$O$$ — его центр, $$K$$ — вершина пирамиды. Обозначим боковое ребро через $$x$$.
Так как пирамида правильная, то все боковые рёбра равны, а треугольник $$AKB$$ равнобедренный. По условию $$\angle AKB=60^\circ$$, значит, треугольник $$AKB$$ равносторонний. Следовательно,
$$AK=BK=AB=x.$$
Проведём в гранях пирамиды высоты $$OH$$ и $$OE$$ к сторонам $$KB$$ и $$AB$$ соответственно. Тогда $$OH$$ и $$OE$$ — линейные углы двугранных углов $$\angle BKCD$$ и $$\angle ABCK$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OEK$$ и $$OHB$$.
Так как $$ABCD$$ — квадрат, то
$$OE=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}.$$
В треугольнике $$AKC$$ имеем
$$AK^2+KC^2=x^2+x^2=(\sqrt2\,x)^2=AC^2,$$
значит, $$\angle AKC=90^\circ$$. Отсюда $$OH\parallel AK$$, а потому по теореме Фалеса
$$OH=\frac{x}{2}=OE.$$
Кроме того, в треугольнике $$BKC$$ все высоты равны, поэтому
$$KE=HB.$$
Итак, в прямоугольных треугольниках $$OHB$$ и $$OEK$$ равны катеты $$OH=OE$$ и $$HB=KE$$, следовательно,
$$\triangle OHB \cong \triangle OEK.$$
Отсюда
$$\angle OHB=\angle OEK.$$
Но треугольник $$DHB$$ равнобедренный, поэтому медиана $$HO$$ является биссектрисой угла при вершине $$H$$. Значит,
$$\angle OHB=\frac12\,\angle DHB.$$
Так как $$\angle DHB$$ и $$\angle OEK$$ — линейные углы двугранных углов $$\angle BKCD$$ и $$\angle ABCK$$ соответственно, то
$$\angle BKCD=2\angle ABCK.$$
Что и требовалось доказать.
