Упр.303 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в $$120^\circ$$, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в $$30^\circ$$. Найдите площадь поверхности пирамиды, если её высота равна $$12\ \text{см}$$.

Подробный ответ

Обозначим сторону ромба основания через $$x$$. Тогда $$\angle ADC=120^\circ$$ как линейный угол двугранного угла между боковыми гранями.

Так как $$ABCD$$ — ромб и $$\angle ADC=120^\circ$$, то $$\angle DAB=60^\circ$$, а треугольники $$\triangle ADB$$ и $$\triangle ACB$$ равносторонние. Значит, их стороны равны $$x$$.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из $$K$$ на прямую $$DC$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$\triangle KDH$$

$$KH=\frac{KD}{\sin 30^\circ}=\frac{12}{\frac12}=24,$$
$$DH=KH\cos 30^\circ=24\cdot \frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3.$$

В равностороннем треугольнике $$BDC$$ высота равна

$$DH=\frac{\sqrt3}{2}x.$$

Следовательно,

$$\frac{\sqrt3}{2}x=12\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad x=24.$$

Теперь найдём площадь поверхности пирамиды. Основание — ромб, поэтому

$$S_{ABCD}=x^2\sin 60^\circ=24^2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=288\sqrt3.$$

Площади боковых граней:

$$S_{ABK}=S_{BCK}=\frac12\cdot x\cdot 24=\frac12\cdot 24\cdot 24=288,$$

$$S_{CDK}=S_{ADK}=\frac12\cdot x\cdot 12=\frac12\cdot 24\cdot 12=144.$$

Тогда полная площадь поверхности пирамиды равна