Упр.303 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее высота равна 12 см.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — ромб, а $$K$$ — вершина пирамиды. Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей ромба. Так как две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, то линейный угол двугранного угла между ними равен $$\angle ADC=120^\circ$$.

В ромбе $$\angle DAB=60^\circ$$, значит треугольники $$\triangle ADB$$ и $$\triangle ACB$$ равносторонние. Обозначим сторону ромба через $$x$$.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$K$$ на прямую $$DC$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$\triangle KDH$$ имеем:

$$ \sin 30^\circ=\frac{KD}{KH} $$
откуда
$$ KH=\frac{KD}{\sin 30^\circ}=\frac{12}{1/2}=24\text{ см}. $$

$$ DH=KH\cos 30^\circ=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\text{ см}. $$

В равностороннем треугольнике $$BDC$$ высота равна $$DH$$, поэтому

$$ DH=\frac{\sqrt{3}}{2}x. $$

Тогда

$$ \frac{\sqrt{3}}{2}x=12\sqrt{3}, \qquad x=24\text{ см}. $$

Теперь найдём площадь поверхности пирамиды:

$$ S_{ABCDK}=S_{ABCD}+S_{ABK}+S_{BCK}+S_{CDK}+S_{ADK}. $$

Площадь основания ромба:

$$ S_{ABCD}=x\cdot h, $$
где
$$ h=x\sin 60^\circ=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}. $$
Значит,
$$ S_{ABCD}=24\cdot 12\sqrt{3}=288\sqrt{3}. $$