Упр.302 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами $$3\ \text{см}$$ и $$7\ \text{см}$$ и одной из диагоналей $$6\ \text{см}$$. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна $$4\ \text{см}$$. Найдите боковые рёбра пирамиды.

В силу симметрии пирамиды боковые рёбра попарно равны: $$AK=KC,$$ $$BK=KD.$$

Так как высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма, то $$O$$ — середина диагоналей, значит $$OB=OD$$ и $$AO=OC.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KOB$$. По теореме Пифагора:

$$KB=\sqrt{KO^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ см}.$$

Теперь найдём $$OC$$. В треугольнике $$AOB$$ по теореме косинусов:

$$AB^2=AO^2+OB^2-2\cdot AO\cdot OB\cdot \cos\angle AOB,$$

$$9=AO^2+9-6\cdot AO\cdot \cos\angle AOB,$$

откуда

$$AO=6\cos\angle AOB.$$

Так как углы $$\angle AOB$$ и $$\angle COB$$ смежные, то

$$\cos\angle COB=-\cos\angle AOB.$$

В треугольнике $$COB$$ по теореме косинусов:

$$CB^2=CO^2+OB^2-2\cdot CO\cdot OB\cdot \cos\angle COB,$$

$$49=CO^2+9-6\cdot CO\cdot \cos\angle COB.$$

Подставим $$\cos\angle COB=-\cos\angle AOB$$ и учтём, что $$AO=CO$$:

$$49=CO^2+9+6\cdot CO\cdot \cos\angle AOB,$$

$$49=CO^2+9+CO\cdot AO.$$

Из равенства $$AO=6\cos\angle AOB$$ получаем $$AO^2=6\cdot AO\cdot \cos\angle AOB$$, значит

$$9=AO^2+9-6\cdot AO\cdot \cos\angle AOB \Rightarrow AO^2=6\cdot AO\cdot \cos\angle AOB.$$

Тогда

$$49=CO^2+9+AO^2.$$

Так как $$AO=CO,$$ имеем

$$49=2CO^2+9,$$

$$2CO^2=40,$$

$$CO^2=20,$$

$$CO=\sqrt{20}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KOC$$:

$$KC=\sqrt{KO^2+OC^2}=\sqrt{4^2+(\sqrt{20})^2}=\sqrt{16+20}=6\text{ см}.$$

Следовательно, боковые рёбра пирамиды равны:

$$BK=KD=5\text{ см},\qquad AK=KC=6\text{ см}.$$

Ответ: $$BK=KD=5\text{ см},\ AK=KC=6\text{ см}.$$