Упр.302 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см и 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды.

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей основания. Так как основание пирамиды — параллелограмм, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\quad BO=OD.$$

Высота пирамиды проходит через точку $$O$$, поэтому $$KO=4$$ см.

Найдём сначала $$BO$$. В прямоугольном треугольнике $$KOB$$ по теореме Пифагора:

$$KB=\sqrt{KO^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ см}.$$

Теперь найдём вторую диагональ основания. В треугольнике $$AOB$$ по теореме косинусов:

$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos\angle AOB.$$

Так как $$AB=3$$ см, а $$BO=3$$ см, получаем

$$9=AO^2+9-6\cdot AO\cdot \cos\angle AOB,$$

откуда

$$AO=6\cos\angle AOB.$$

Поскольку углы $$\angle AOB$$ и $$\angle COB$$ смежные, то

$$\cos\angle AOB=-\cos\angle COB.$$

В треугольнике $$COB$$ по теореме косинусов:

$$CB^2=CO^2+BO^2-2\cdot CO\cdot BO\cdot \cos\angle COB.$$

Подставим $$CB=7$$ см и $$BO=3$$ см:

$$49=CO^2+9-6\cdot CO\cdot \cos\angle COB.$$

С учётом связи между косинусами получаем

$$49=CO^2+9+6\cdot CO\cdot \cos\angle AOB.$$

Но из равенства $$AO=6\cos\angle AOB$$ следует $$CO=AO$$, значит

$$49=CO^2+9+CO^2,$$

$$2CO^2=40,$$

$$CO^2=20,$$

$$CO=\sqrt{20}.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$KOC$$:

$$KC=\sqrt{KO^2+OC^2}=\sqrt{4^2+(\sqrt{20})^2}=\sqrt{16+20}=6\text{ см}.$$

По симметрии пирамиды получаем:

$$AK=KC,\quad BK=KD.$$

Ответ

$$AK=KC=6\text{ см},\quad BK=KD=5\text{ см}.$$