Упр.301 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды $$DABC$$ равен $$120^\circ$$. Расстояние от вершины $$B$$ до бокового ребра $$DA$$ равно $$16\ \text{см}$$. Найдите апофему пирамиды.
Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$B$$ на ребро $$AD$$. Тогда $$BH\perp AD$$. В правильной пирамиде боковые рёбра равны, значит $$AB=BC$$, а в треугольнике $$BCD$$ имеем $$CD=BD$$. Поэтому точка $$H$$ лежит и на ребре $$AD$$, и на высоте боковой грани.
Рассмотрим треугольник $$BCH$$. Так как двугранный угол при ребре $$AD$$ равен $$120^\circ$$, то $$\angle BHC=120^\circ$$. По теореме косинусов:
$$BC^2=BH^2+CH^2-2\cdot BH\cdot CH\cos 120^\circ$$
Так как $$BH=CH=16$$, получаем
$$BC=\sqrt{16^2+16^2-2\cdot 16\cdot 16\cdot\left(-\frac12\right)}=16\sqrt3.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:
$$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{(16\sqrt3)^2-16^2}=16\sqrt2.$$
Обозначим апофему пирамиды через $$DE$$, где $$E$$ — середина ребра $$AB$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ADE$$
$$\tan \angle BAD=\frac{DE}{AE}.$$
Из треугольника $$ABH$$:
$$\tan \angle BAD=\frac{BH}{AH}=\frac{16}{16\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}.$$
Кроме того, $$AE=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{16\sqrt3}{2}=8\sqrt3$$, значит
$$DE=AE\cdot \tan \angle BAD=8\sqrt3\cdot \frac1{\sqrt2}=4\sqrt6.$$
Ответ: $$4\sqrt6$$ см.
