Упр.300 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной треугольной пирамиде $$DABC$$ точки $$E$$, $$F$$ и $$P$$ — середины сторон $$BC$$, $$AB$$ и $$AD$$. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна $$a$$, боковое ребро равно $$b$$.

Пусть $$E$$, $$F$$ и $$P$$ — середины сторон $$BC$$, $$AB$$ и $$AD$$ соответственно.

Тогда $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит

$$EF=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}, \qquad EF \parallel AC.$$

Аналогично, $$PF$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$, поэтому

$$PF=\frac{BD}{2}=\frac{b}{2}, \qquad PF \parallel BD.$$

В правильной треугольной пирамиде противоположные рёбра перпендикулярны, значит

$$BD \perp AC.$$

Так как $$PF \parallel BD$$ и $$EF \parallel AC$$, то

$$PF \perp EF.$$

Следовательно, четырёхугольник $$EPFK$$, где $$K$$ — точка пересечения с ребром $$CD$$, является прямоугольником. При этом сечение проходит через середину ребра $$CD$$.

Найдём площадь сечения:

$$S_{EPFK}=EF\cdot PF=\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}=\frac{ab}{4}.$$

Ответ: сечение — прямоугольник, $$S=\frac{ab}{4}$$.