Упр.300 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной треугольной пирамиде DABC точки E, F и P — середины сторон ВС, AB и AD. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна а, боковое ребро равно b.

Подробный ответ

Обозначим через $$K$$ середину ребра $$CD$$. Докажем, что сечение проходит через точки $$E, F, P, K$$.

Так как $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AB$$ треугольника $$ABC$$, то $$EF$$ — средняя линия этого треугольника, значит

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}.$$

Так как $$P$$ и $$F$$ — середины рёбер $$AD$$ и $$AB$$ треугольника $$ABD$$, то $$PF$$ — средняя линия, поэтому

$$PF \parallel BD,\qquad PF=\frac{BD}{2}=\frac{b}{2}.$$

В правильной пирамиде противоположные рёбра перпендикулярны, значит $$BD \perp AC$$. Тогда из $$PF \parallel BD$$ и $$EF \parallel AC$$ получаем

$$PF \perp EF.$$

Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Точка $$P$$ лежит на $$AD$$, а прямая, проходящая через $$P$$ параллельно $$EF$$, параллельна также $$AC$$. Она пересекает ребро $$DC$$ в его середине, то есть в точке $$K$$. Следовательно, $$K$$ — середина $$CD$$, и

$$KP \parallel AC,\qquad KP=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}.$$

Так как $$KP \parallel EF$$ и $$KP=EF$$, то четырёхугольник $$EPFK$$ — параллелограмм. Поскольку $$PF \perp EF$$, этот параллелограмм является прямоугольником.

Найдём его площадь:

$$S_{EPFK}=EF\cdot PF=\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}=\frac{ab}{4}.$$