Упр.30 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основание $$AB$$ трапеции $$ABCD$$ параллельно плоскости $$\alpha$$, а вершина $$C$$ лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание $$CD$$ трапеции лежит в плоскости $$\alpha$$; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости $$\alpha$$.

Подробный ответ

Пусть плоскость трапеции $$ABCD$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ по прямой, проходящей через точку $$C$$.

Так как $$AB \parallel \alpha$$, то прямая $$AB$$ параллельна линии пересечения плоскостей $$ABCD$$ и $$\alpha$$. Следовательно, в плоскости $$ABCD$$ через точку $$C$$ можно провести прямую, параллельную $$AB$$. Но в трапеции $$ABCD$$ основания параллельны, значит $$CD \parallel AB$$. Через точку $$C$$ в плоскости $$ABCD$$ такая прямая единственна, поэтому $$CD$$ совпадает с этой линией пересечения плоскостей. Значит,

$$CD \subset \alpha.$$

Теперь рассмотрим среднюю линию $$EF$$ трапеции. По определению, $$EF \parallel AB$$ и $$EF \parallel CD$$. Так как $$CD \subset \alpha$$, то прямая $$EF$$ параллельна прямой, лежащей в плоскости $$\alpha$$. Кроме того, $$EF$$ не лежит в плоскости $$\alpha$$, значит по теореме о параллельности прямой и плоскости

$$EF \parallel \alpha.$$

Ответ: $$CD \subset \alpha,\quad EF \parallel \alpha.$$