Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.30 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- На стороне $$BA$$ угла $$ABC$$, равного $$30^\circ$$, взята такая точка $$D$$, что $$AD=2$$ и $$BD=1$$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $$A$$, $$D$$ и касающейся прямой $$BC$$.
Обозначим через $$E$$ точку касания окружности с прямой $$BC$$, а через $$O$$ — её центр. Тогда $$OE\perp BC$$, значит $$OE$$ — радиус окружности.
Так как $$\angle ABC=30^\circ$$, то в прямоугольном треугольнике $$ABE$$ имеем
$$BE^2=AB\cdot BD.$$
Но $$AB=AD+DB=2+1=3$$, поэтому
$$BE^2=3\cdot 1=3,\qquad BE=\sqrt3.$$
Рассмотрим треугольник $$BDE$$. По теореме косинусов:
$$DE^2=BD^2+BE^2-2\cdot BD\cdot BE\cos\angle DBE.$$
Так как $$\angle DBE=\angle ABC=30^\circ$$, то
$$DE^2=1+3-2\cdot 1\cdot \sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}=1,$$
следовательно, $$DE=1$$.
Из теоремы синусов в треугольнике $$BDE$$:
$$\frac{DE}{\sin \angle DBE}=\frac{BD}{\sin \angle BED},$$
то есть
$$\frac{1}{\sin 30^\circ}=\frac{1}{\sin \angle BED},$$
откуда $$\sin \angle BED=\frac12$$, значит $$\angle BED=30^\circ$$ и
$$\angle OED=90^\circ-\angle BED=60^\circ.$$
Теперь в треугольнике $$OED$$ имеем $$OE=OD$$ как радиусы, а угол при основании равен $$60^\circ$$. Значит, треугольник $$OED$$ равносторонний, и
$$OE=DE=1.$$
Следовательно, радиус окружности равен $$1$$.
Ответ: $$1$$.
