Исследовательские задачи Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Тетраэдр называется каркасным, если существует сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра. Докажите, что тетраэдр является каркасным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий:
- а) суммы длин противоположных рёбер тетраэдра равны;
- б) суммы двугранных углов при противоположных рёбрах тетраэдра равны;
- в) окружности, вписанные в грани тетраэдра, попарно касаются друг друга (это означает, что каждые две окружности, вписанные в грани тетраэдра с общим ребром, касаются этого ребра в одной и той же точке);
- г) все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, являются описанными;
- д) четыре прямые, каждая из которых проходит через центр вписанной в грань тетраэдра окружности и перпендикулярна к этой грани, пересекаются в одной точке.
Докажем эквивалентность каждого из условий существованию сферы, касающейся всех рёбер тетраэдра.
а) Суммы длин противоположных рёбер равны
Пусть сфера касается всех рёбер тетраэдра. Рассмотрим две грани, имеющие общее ребро. В каждой из них можно провести описанный четырёхугольник, у которого суммы противоположных сторон равны. Тогда для тетраэдра получаем:
$$AB+PC=BP+AC,$$
$$AP+BC=AC+BP.$$
Следовательно, суммы длин противоположных рёбер тетраэдра равны.
Обратно, если суммы длин противоположных рёбер равны, то для каждой пары соседних граней можно построить окружности, касающиеся общего ребра в одной точке. Эти окружности являются сечениями одной и той же сферы, касающейся всех рёбер тетраэдра. Значит, тетраэдр каркасный.
б) Суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны
Пусть сфера касается всех рёбер тетраэдра. Обозначим через $$O$$ центр сферы, а через $$E$$ центр окружности, вписанной в грань $$ABC$$. Тогда $$OE \perp (ABC)$$. Аналогично, если $$F$$ и $$G$$ — точки касания в соседних гранях, то соответствующие отрезки из центра сферы перпендикулярны этим граням.
Рассмотрим двугранные углы при противоположных рёбрах. Каждый такой угол раскладывается на сумму двух углов, образованных перпендикулярами к соответствующим граням. Поэтому для противоположных рёбер суммы двугранных углов равны.
Обратно, если суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны, то можно провести через центры вписанных окружностей граней прямые, перпендикулярные этим граням. По условию они пересекаются в одной точке, которая и является центром сферы, касающейся всех рёбер тетраэдра.
в) Окружности, вписанные в грани тетраэдра, попарно касаются друг друга
Пусть тетраэдр каркасный. Тогда каждая вписанная в грань окружность является сечением каркасной сферы этой гранью. Следовательно, две окружности, вписанные в соседние грани, касаются общего ребра в одной и той же точке.
Обратно, если окружности, вписанные в соседние грани, касаются общего ребра в одной точке, то все такие окружности являются сечениями одной сферы. Значит, существует сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра, то есть тетраэдр каркасный.
г) Все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, являются описанными
Рассмотрим развёртку тетраэдра. Для неё выполняются равенства:
$$AP+BC=AC+PB,$$
$$AB+PC=PB+AC,$$
$$AP+BC=AB+PC.$$
Значит, каждый из четырёхугольников на развёртке является описанным. Это возможно тогда и только тогда, когда существует сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра.
д) Прямые, проходящие через центры вписанных окружностей граней и перпендикулярные этим граням, пересекаются в одной точке
Пусть $$O_1, O_2, O_3, O_4$$ — центры вписанных окружностей граней тетраэдра. Если тетраэдр каркасный, то эти окружности являются сечениями одной сферы. Тогда прямые, проведённые через $$O_1, O_2, O_3, O_4$$ перпендикулярно соответствующим граням, проходят через центр сферы и пересекаются в одной точке.
Обратно, если такие четыре прямые пересекаются в одной точке, то эта точка равноудалена от всех рёбер тетраэдра. Следовательно, существует сфера с этим центром, касающаяся всех рёбер тетраэдра.
Таким образом, тетраэдр является каркасным тогда и только тогда, когда выполнено любое из условий а)–д).
