Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно $$5$$ и $$20$$. Найдите биссектрису, проведённую к боковой стороне треугольника.

Обозначим через $$D$$ точку пересечения биссектрисы $$AD$$ с боковой стороной $$BC$$.

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ имеем $$AB=BC=20$$, а основание $$AC=5$$.

По теореме о биссектрисе:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{20}{5}=4.$$

Значит, $$BD=4DC$$, а так как $$BD+DC=BC=20$$, то

$$4DC+DC=20,$$

$$5DC=20,$$

$$DC=4.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$. По теореме косинусов:

$$AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD\cos\angle ACD.$$

Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, а в прямоугольном треугольнике $$BEC$$

$$\cos \angle ACD=\cos \angle C=\frac{CE}{BC}=\frac{AC/2}{BC}=\frac{5/2}{20}=\frac18.$$

Тогда

$$AD^2=5^2+4^2-2\cdot 5\cdot 4\cdot \frac18=25+16-5=36,$$

$$AD=6.$$

Ответ: $$6$$.