Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите угол между плоскостями $$AB_1C_1$$ и $$A_1B_1C$$.
Для куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ рассмотрим плоскости $$AB_1C_1$$ и $$A_1B_1C.$$ Их линией пересечения является прямая $$B_1C_1$$.
Найдём двугранный угол между этими плоскостями, то есть угол между прямыми, перпендикулярными ребру $$B_1C_1$$ и лежащими в данных плоскостях.
В плоскости $$AB_1C_1$$ прямая $$B_1A_1$$ перпендикулярна $$B_1C_1$$, так как $$B_1C_1 \perp A_1B_1$$ и $$A_1B_1 \parallel AB$$, а в кубе $$AB \perp BB_1$$. Аналогично в плоскости $$A_1B_1C$$ прямая $$B_1A_1$$ также перпендикулярна $$B_1C_1$$.
Следовательно, искомый угол равен углу $$\angle A_1BC_1$$.
Рассмотрим треугольник $$A_1BC_1$$. Его стороны:
$$A_1B=BC_1=A_1C_1=a\sqrt{2}.$$
Значит, треугольник $$A_1BC_1$$ равносторонний, поэтому
$$\angle A_1BC_1=60^\circ.$$
Ответ: $$60^\circ$$.
