Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В треугольнике АВС угол С прямой. Найдите высоту CH, если AB=13 и tg(A)=0,2.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой, поэтому для угла $$A$$ имеем

$$\tg A=\frac{BC}{AC}=0{,}2=\frac{1}{5}.$$

Значит, $$BC=\frac{AC}{5}.$$

Найдём $$\cos A$$ через тангенс:

$$\cos A=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 A}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{25}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{26}{25}}}=\frac{5}{\sqrt{26}}.$$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике

$$\cos A=\frac{AC}{AB}.$$

Тогда

$$\frac{AC}{13}=\frac{5}{\sqrt{26}}, \qquad AC=\frac{65}{\sqrt{26}}.$$

Теперь найдём $$BC$$:

$$BC=\frac{AC}{5}=\frac{13}{\sqrt{26}}.$$

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH.$$

Отсюда

$$CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}.$$

Подставим найденные значения:

$$CH=\frac{\frac{65}{\sqrt{26}}\cdot \frac{13}{\sqrt{26}}}{13}=\frac{65}{26}=2{,}5.$$

Ответ

$$2{,}5$$