Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой. Найдите высоту $$CH$$, если $$AB=13$$ и $$\operatorname{tg}(A)=0{,}2$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой, значит для угла $$A$$

$$\tg A=\frac{BC}{AC}=0{,}2=\frac15.$$

Тогда можно взять

$$BC=x,\quad AC=5x.$$

По теореме Пифагора:

$$AB^2=AC^2+BC^2=(5x)^2+x^2=26x^2.$$

Так как $$AB=13$$, получаем

$$13^2=26x^2,\quad x=\frac{13}{\sqrt{26}}.$$

Следовательно,

$$BC=\frac{13}{\sqrt{26}},\qquad AC=\frac{65}{\sqrt{26}}.$$

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac12 AC\cdot BC=\frac12 AB\cdot CH.$$

Отсюда

$$CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}.$$

Подставим найденные значения:

$$CH=\frac{\frac{65}{\sqrt{26}}\cdot \frac{13}{\sqrt{26}}}{13}=\frac{65}{26}=2{,}5.$$

Ответ: $$2{,}5$$.