Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1. Найдите угол между плоскостями AB_1C_1 и A_1B_1C.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со стороной $$AB=a$$.

Плоскости $$AB_1C_1$$ и $$A_1B_1C$$ пересекаются по прямой $$B_1C_1$$. Найдём угол между этими плоскостями как угол между двумя прямыми, проведёнными в этих плоскостях перпендикулярно линии их пересечения.

В кубе $$B_1C_1 \perp A_1B_1$$, так как ребро $$B_1C_1$$ перпендикулярно плоскости верхней грани $$A_1B_1C_1D_1$$, а $$A_1B_1$$ лежит в этой плоскости. Аналогично $$B_1C_1 \perp BC_1$$, поскольку $$BC_1$$ лежит в плоскости $$A_1B_1C$$ и проходит через точку $$C_1$$.

Следовательно, искомый двугранный угол равен углу $$\angle A_1BC_1$$, где $$BA_1 \subset AB_1C_1$$ и $$BC_1 \subset A_1B_1C$$.

Найдём этот угол. В квадрате $$A_1BCC_1$$ диагональ $$A_1C_1$$ равна

$$A_1C_1=BC_1=a\sqrt{2}.$$

Кроме того, в кубе $$BA_1=BC_1=a\sqrt{2}$$, поэтому треугольник $$A_1BC_1$$ равносторонний. Тогда

$$\angle A_1BC_1=60^\circ.$$

Ответ

$$60^\circ$$