Упр.299 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна $$m$$, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.

Пусть $$SABC$$ — правильная треугольная пирамида, $$ABC$$ — равносторонний треугольник со стороной $$m$$, $$O$$ — центр основания, $$SO=h$$ — высота пирамиды.

Площадь основания равна

$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}m^2.$$

По условию площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания, значит

$$S_{\text{бок}}=2S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{2}m^2.$$

В правильной пирамиде все боковые грани равны, поэтому

$$S_{\text{бок}}=3\cdot S_{SAB}=3\cdot \frac{1}{2}m\cdot l,$$

где $$l$$ — апофема пирамиды, то есть высота боковой грани. Тогда

$$3\cdot \frac{1}{2}m l=\frac{\sqrt{3}}{2}m^2,$$

откуда

$$l=\frac{m}{\sqrt{3}}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SOH$$, где $$H$$ — середина стороны основания. Тогда

$$OH=\frac{1}{3}\cdot \text{высота } \triangle ABC=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}m=\frac{\sqrt{3}}{6}m.$$

По теореме Пифагора:

$$SO=\sqrt{SH^2-OH^2}=\sqrt{\left(\frac{m}{\sqrt{3}}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}m\right)^2}.$$

Вычислим:

$$SO=\sqrt{\frac{m^2}{3}-\frac{m^2}{12}} =\sqrt{\frac{4m^2-m^2}{12}} =\sqrt{\frac{3m^2}{12}} =\frac{m}{2}.$$

Ответ: $$h=\frac{m}{2}.$$