Упр.298 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основание параллелепипеда с боковым ребром $$b$$ — квадрат со стороной $$a$$. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от вершин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности.

Подробный ответ

Пусть основание параллелепипеда $$ABCD$$ — квадрат со стороной $$a$$, а боковое ребро $$AA_1=b$$. Тогда полная поверхность равна

$$S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=2a^2+P_{\text{осн}}\cdot h=2a^2+4a\cdot h,$$

где $$h$$ — высота параллелепипеда.

По условию вершина $$A_1$$ верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания. Значит,

$$A_1A=A_1B=A_1C=A_1D=b.$$

Рассмотрим треугольник $$AA_1B$$. В нём $$AA_1=BA_1=b$$, $$AB=a$$. Высота из точки $$A_1$$ к основанию $$AB$$ делит его пополам, поэтому

$$\left(\frac a2\right)^2+h^2=b^2,$$

откуда

$$h=\sqrt{b^2-\left(\frac a2\right)^2}=\frac12\sqrt{4b^2-a^2}.$$

Подставим в формулу полной поверхности:

$$S_{\text{полн}}=2a^2+4a\cdot \frac12\sqrt{4b^2-a^2}=2a^2+2a\sqrt{4b^2-a^2}.$$