Упр.298 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основание параллелепипеда с боковым ребром b — квадрат со стороной а. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от вершин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности.

Пусть дан прямой параллелепипед $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$, где основание $$ABCD$$ — квадрат со стороной $$a$$, а боковое ребро $$AA_1=b$$.

Площадь полной поверхности равна

$$S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=2a^2+P_{\text{осн}}\cdot h=2a^2+4a\cdot h,$$

где $$h$$ — высота боковой грани, то есть расстояние от вершины $$A_1$$ до прямой $$AB$$.

По условию вершина $$A_1$$ верхнего основания равноудалена от вершин нижнего основания. Значит,

$$A_1A=A_1B=A_1C=A_1D.$$

Рассмотрим треугольник $$ABA_1$$. В нём

$$AB=a,\quad AA_1=b,\quad A_1B=b.$$

Найдём высоту $$h$$ этого треугольника, опущенную из точки $$A_1$$ на сторону $$AB$$. Тогда

$$h^2=AA_1^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2=b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2,$$

откуда

$$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4b^2-a^2}.$$

Подставим в формулу полной поверхности:

$$ S_{\text{полн}}=2a^2+4a\cdot \frac{1}{2}\sqrt{4b^2-a^2} =2a^2+2a\sqrt{4b^2-a^2}. $$

Ответ

$$S_{\text{полн}}=2a^2+2a\sqrt{4b^2-a^2}.$$