Упр.297 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием треугольной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ является правильный треугольник $$ABC$$, $$BD$$ — высота этого треугольника, а вершина $$A_1$$ проектируется в его центр. Докажите, что:

а) $$A_1BD \perp AA_1C_1$$;

б) $$AA_1O \perp BB_1C$$;

в) грань $$BB_1C_1C$$ — прямоугольник.

Подробный ответ

Так как $$ABC$$ — правильный треугольник, то $$BD$$ — его высота, значит $$BD\perp AC$$. По условию точка $$A_1$$ проектируется в центр $$O$$ треугольника $$ABC$$, поэтому $$A_1O\perp (ABC)$$.

а)

В правильном треугольнике центр $$O$$ лежит на высоте $$BD$$, значит точки $$B, O, D$$ коллинеарны. Тогда прямая $$BD$$ лежит в плоскости $$A_1BD$$, а прямая $$A_1O$$ лежит в плоскости $$AA_1C_1$$, так как $$AA_1C_1C$$ — параллелограмм и $$A_1O\parallel AA_1$$.

Поскольку $$BD\perp AC$$ и $$A_1O\perp (ABC)$$, то $$BD\perp A_1C_1$$, а также $$A_1O\perp A_1C_1$$. Следовательно, прямая $$A_1C_1$$ перпендикулярна плоскости $$A_1BD$$, а значит

$$A_1BD\perp AA_1C_1.$$

б)

Так как $$A_1O\perp (ABC)$$, то $$A_1O\perp BC$$. Кроме того, в правильном треугольнике $$ABC$$ высота $$AH$$ перпендикулярна $$BC$$, а точка $$O$$ лежит на $$AH$$, значит $$AO\perp BC$$.

Следовательно, прямая $$BC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$A_1O$$ и $$AO$$, лежащим в плоскости $$AA_1O$$. Значит,

$$BC\perp (AA_1O).$$

Так как $$BB_1\parallel AA_1$$, то прямая $$BB_1$$ также перпендикулярна плоскости $$AA_1O$$. Поэтому

$$AA_1O\perp BB_1C.$$

в)

Из пункта б) получаем $$BC\perp AA_1O$$, а значит $$BC\perp A_1O$$. Поскольку $$BB_1\parallel AA_1$$ и $$AA_1\perp (ABC)$$, то $$BB_1\perp BC$$.

В грани $$BB_1C_1C$$ противоположные стороны попарно параллельны: $$BB_1\parallel CC_1$$ и $$BC\parallel B_1C_1$$. Кроме того, $$BB_1\perp BC$$. Следовательно, грань $$BB_1C_1C$$ — прямоугольник.

Ответ: доказано, что $$A_1BD\perp AA_1C_1$$, $$AA_1O\perp BB_1C$$, а грань $$BB_1C_1C$$ — прямоугольник.