Упр.296 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Высота правильной треугольной призмы равна $$h$$. Плоскость $$\alpha$$, проведённая через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол $$\varphi$$. Найдите площадь сечения призмы плоскостью $$\alpha$$.

Обозначим сторону правильной треугольной призмы через $$x$$.

Пусть $$ED$$ — средняя линия нижнего основания $$ABC$$, тогда $$ED \parallel BC$$ и $$ED=\dfrac{x}{2}$$. Так как призма правильная, то $$BC \parallel B_1C_1$$, значит $$ED \parallel B_1C_1$$. Следовательно, сечение $$EB_1C_1D$$ — трапеция.

Её площадь равна

$$S_{EB_1C_1D}=\frac{ED+B_1C_1}{2}\cdot h.$$

Так как $$B_1C_1=BC=x$$, получаем

$$S_{EB_1C_1D}=\frac{\frac{x}{2}+x}{2}\cdot h=\frac{3x}{4}\,h.$$

Осталось выразить $$x$$ через $$h$$ и $$\varphi$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $$\varphi$$. Тогда

$$\tg\varphi=\frac{h}{FH},$$

откуда

$$FH=\frac{h}{\tg\varphi}.$$

С другой стороны, из подобия треугольников, получаем, что высота равностороннего треугольника со стороной $$x$$ равна

$$h_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}x,$$

а соответствующий отрезок равен половине этой высоты:

$$FH=\frac{1}{2}h_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}x.$$

Тогда

$$\frac{h}{\tg\varphi}=\frac{\sqrt{3}}{4}x,$$

откуда

$$x=\frac{4h}{\sqrt{3}\,\tg\varphi}.$$

Подставим это в формулу площади:

$$S_{EB_1C_1D}=\frac{3}{4}\cdot \frac{4h}{\sqrt{3}\,\tg\varphi}\cdot h =\frac{\sqrt{3}\,\ctg\varphi}{\sin\varphi}\,h^2.$$

Ответ: $$S_{EB_1C_1D}=\dfrac{\sqrt{3}\,\ctg\varphi}{\sin\varphi}\,h^2$$.