Упр.295 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием наклонного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ является ромб. Боковое ребро $$CC_1$$ составляет равные углы со сторонами основания $$CD$$ и $$CB$$. Докажите, что:
а) $$CC_1\perp BD$$;
б) $$BB_1D_1D$$ — прямоугольник;
в) $$BD\perp AA_1C_1$$;
г) $$AA_1C_1\perp BB_1D_1$$.
Проведём диагонали ромба $$AC$$ и $$BD$$. Тогда $$BD \perp AC$$, а точка их пересечения $$O$$ является серединой обеих диагоналей: $$AO=OC$$, $$BO=OD$$.
По условию $$\angle C_1CD=\angle C_1CB$$. Значит, треугольники $$\triangle C_1CD$$ и $$\triangle C_1CB$$ равны по первому признаку: у них общая сторона $$C_1C$$ и равны прилежащие к ней углы. Отсюда $$C_1D=C_1B$$.
Следовательно, треугольник $$\triangle DC_1B$$ равнобедренный, а точка $$O$$ — середина основания $$DB$$. Поэтому прямая $$C_1O$$ является высотой этого треугольника, то есть
$$C_1O \perp BD.$$
Так как точки $$C_1, O, C$$ лежат в одной плоскости, а $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, то из $$BD \perp AC$$ получаем также
$$BD \perp AO.$$
Итак, прямая $$BD$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$C_1O$$ и $$AO$$, лежащим в плоскости $$AA_1C_1$$. Значит,
$$BD \perp AA_1C_1.$$
Теперь докажем требуемые утверждения:
- Так как $$C_1O \perp BD$$ и точки $$C, O, A$$ лежат на одной прямой, то из предыдущего следует, что $$CC_1 \perp BD$$.
- В параллелепипеде $$BB_1 \parallel CC_1$$. Тогда из $$CC_1 \perp BD$$ получаем $$BB_1 \perp BD$$. Кроме того, $$BB_1 \parallel DD_1$$, а значит, четырёхугольник $$BB_1D_1D$$ — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.
- Поскольку $$BD \perp AA_1C_1$$, то прямая $$BD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$AA_1C_1$$, в частности $$AA_1 \perp BD$$ и $$AC_1 \perp BD$$. Следовательно, плоскость $$BDLAA_1C_1$$.
- Так как $$BB_1 \parallel DD_1$$ и $$BB_1 \perp BD$$, то $$BB_1D_1D$$ — прямоугольник, а значит, $$BB_1 \perp D_1D$$. Но $$D_1D \parallel AA_1$$, поэтому $$BB_1 \perp AA_1$$. Вместе с $$BB_1 \parallel CC_1$$ получаем $$AA_1C_1LBB_1D_1$$.
Ответ: $$CC_1 \perp BD$$; $$BB_1D_1D$$ — прямоугольник; $$BD \perp AA_1C_1$$; $$AA_1C_1LBB_1D_1$$.
