Упр.295 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб. Боковое ребро CC1 составляет равные углы со сторонами основания CD и CB. Докажите, что: а) CC1 L BD; б) BB1D1D — прямоугольник; в) BDLAA1C1; г) AA1C1LBB1D1.

Подробный ответ

Проведём диагонали ромба $$AC$$ и $$BD$$. Тогда в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам, значит

$$BD \perp AC,\qquad AO=OC,\qquad BO=OD,$$

где $$O$$ — точка их пересечения.

По условию $$\angle C_1CD=\angle C_1CB$$. Рассмотрим треугольники $$\triangle C_1CD$$ и $$\triangle C_1CB$$: у них $$C_1C$$ — общая сторона, $$CD=CB$$ как стороны ромба, а углы между ними равны. Следовательно,

$$\triangle C_1CD \cong \triangle C_1CB$$

по первому признаку равенства треугольников. Отсюда

$$C_1D=C_1B.$$

Значит, треугольник $$DC_1B$$ равнобедренный, а точка $$C_1$$ лежит на серединном перпендикуляре к основанию $$DB$$. Поскольку $$O$$ — середина $$DB$$, то прямая $$C_1O$$ является серединным перпендикуляром к $$DB$$, следовательно,

$$C_1O \perp BD.$$

Так как $$C_1O \subset CC_1$$, получаем

$$CC_1 \perp BD.$$

Это доказывает пункт а).

Теперь докажем пункт б). В параллелепипеде $$BB_1 \parallel CC_1$$, значит из $$CC_1 \perp BD$$ следует

$$BB_1 \perp BD.$$

Кроме того, в параллелепипеде $$BB_1 \parallel AA_1$$ и $$D_1D \parallel BB_1$$. Так как $$BD \perp BB_1$$ и $$BD \perp D_1D$$, то прямая $$BD$$ перпендикулярна плоскости $$BB_1D_1D$$. Следовательно, четырёхугольник $$BB_1D_1D$$ — прямоугольник.

Докажем пункт в). Из $$BD \perp AC$$ и $$BD \perp AA_1$$, поскольку $$AA_1 \parallel CC_1$$ и $$CC_1 \perp BD$$, получаем, что прямая $$BD$$ перпендикулярна плоскости $$AA_1C_1$$. Значит,

$$BD \perp AA_1C_1.$$

Это и требовалось доказать.

Наконец, пункт г). Так как $$BB_1 \parallel AA_1$$ и $$D_1D \parallel BB_1$$, то из уже доказанного $$BD \perp BB_1$$ следует

$$BD \perp BB_1D_1D.$$

Следовательно,

$$BD \perp BB_1D_1.$$

А из пункта в) уже имеем $$BD \perp AA_1C_1$$. Значит,

$$AA_1C_1 \perp BB_1D_1.$$

Что и требовалось доказать.