Упр.294 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Правильная четырехугольная призма пересечена плоскостью, содержащей две ее диагонали. Площадь сечения равна S0, а сторона основания а. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

Подробный ответ

Обозначим высоту призмы через $$h$$. Тогда площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=4a\cdot h.$$

Плоскость проходит через две диагонали призмы, поэтому сечение $$AA_1C_1C$$ — прямоугольник. Его стороны равны $$AA_1=h$$ и $$AC$$, где $$AC$$ — диагональ квадрата основания:

$$AC=a\sqrt{2}.$$

Следовательно, площадь сечения

$$S_0=h\cdot AC=h\cdot a\sqrt{2}.$$

Отсюда

$$h=\frac{S_0}{a\sqrt{2}}.$$

Подставим это в формулу площади боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=4a\cdot \frac{S_0}{a\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}S_0=2\sqrt{2}\,S_0.$$