Упр.293 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной четырёхугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ диагонали $$B_1D$$ и $$D_1B$$ взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями $$A_1C$$ и $$B_1D$$ призмы равен $$60^\circ$$.

Подробный ответ

Обозначим сторону основания призмы через $$a$$, а высоту — через $$h$$.

Так как призма правильная, то основание $$ABCD$$ — квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны основанию.

Рассмотрим диагонали $$B_1D$$ и $$D_1B$$. По условию они взаимно перпендикулярны. Тогда в прямоугольном треугольнике $$B_1DB$$ имеем

$$B_1D^2=BB_1^2+BD^2.$$

Но $$BB_1=h$$, а $$BD=a\sqrt{2}$$, значит

$$B_1D^2=h^2+2a^2.$$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике $$B_1DD_1$$

$$B_1D^2=DD_1^2+B_1D_1^2=h^2+BD_1^2.$$

Из симметрии призмы и условия $$B_1D\perp D_1B$$ следует, что четырёхугольник $$B_1DD_1B$$ — квадрат, поэтому его диагонали равны и перпендикулярны. Отсюда

$$BD_1=BB_1=h\sqrt{2}.$$

Теперь найдём диагональ призмы $$A_1C$$. В прямоугольном треугольнике $$AA_1C$$

$$A_1C^2=AA_1^2+AC^2=h^2+2a^2.$$

Сравнивая с выражением для $$B_1D^2$$, получаем

$$A_1C=B_1D.$$

Кроме того, в квадрате основания диагонали равны, значит

$$AC=BD=a\sqrt{2}.$$

Рассмотрим треугольник $$A_1OB_1$$, где $$O$$ — центр квадрата основания. Тогда

$$OA_1=OB_1=\frac{A_1C}{2},$$

а также

$$A_1B_1=a.$$

Из условия и полученных равенств следует, что треугольник $$A_1OB_1$$ равносторонний, значит